イデアルどうしの和と差と積を定義する

可換環RのイデアルI,Jについて考えます。

I+Jと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの和の集合ということにしましょう。

IJと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの積の「有限和」の集合ということにしましょう。

たとえば、I+Jという集合の元は何個あるでしょうか。

Iの元がx個、Jの元がy個あれば、xy個ということになります。

IJという集合の元は何個あるでしょうか。

a1*b3+a2*b9+a4*b1などもIJの元です。

ということで、項が1つのものはxy個、項が2つのものはxy*xy個、項が3つのものはxy*xy*xy個あり、項がxのものは…というふうに、相当数の元があります。

xとyの個数の違いによって、元の数は異なります。また、項の数が違っても、たまたま同じ数値となる元もあります。

実は、集合ＩＪというのは、「最小のイデアル」のときの論ととても似ています。考えてみてください。詳細は割愛します。

集合I+Jは、a+bを元に持ちます。

集合I+Jが可換環Rのイデアルであるためには、任意の2つの元の和がやはり集合I+Jの元になっていなければなりません。

(a+b)+(a’+b’)=(a+a’)+(b+b’)となっており、(a+a’)はIの元、(b+b’)はJの元なので、これはI+Jの元になっています。

次に、可換環Rの任意の元rとの積ですが、

r(a+b)=ra+rbであり、raはIの元、rbはJの元なので、確かにI+Jの元となっています。

結局、集合I+Jはイデアルでした。

上と同様に、abの有限和を元にもつ集合IJの、元abと元a’b’の和ab+a’b’がIJの元になっているかどうか確認します。IJの元は、abの有限和ですから、やはり、ab+a’b’はIJの元になっています。これは、いずれの元についても成り立ちます。

次に、可換環Ｒの任意の元rと集合IJの任意の元Σabの積が、集合IJの元かどうかを確認します。

r*(Σab）=ra1*b1+ra2*b2+…となって、ra1もra2もIがイデアルなので、Iの元になっていますから、Iの元とJの元の積の有限和になっています。ということで、やはりr*(Σab）は集合IJの元です。

結局、集合IJはイデアルでした。

Iの元かつJの元である元は、もちろん存在するかもしれません。全く存在しない場合もあるでしょう。

Iの元かつJの元である元の集合を、I∩Jで表すことにしましょう。

元a,bがＩ∩Ｊであれば、a+bはIの元、a+bはJの元であるから、a+bはI∩Ｊの元になっています。また、可換環Ｒの元rとの積raは、Iの元でもあり、Jの元でもあるので、I∩Ｊの元になっています。

従って、集合I∩Ｊはイデアルです。

イデアルIJとイデアルI∩Jの関係

イデアルIJとI∩Jの関係ですが、

IJの元abについて、実は、Iの元aもＪの元bも、IとJが可換環Rの部分集合であるから、Rの任意の元rの一部になっています。

ということは、aがIの元であるとき、raもIの元であるから、例えば、a*aや、b*aもIの元となっています。

同じく、bがJの元であるとき、rbはJの元ですので、a*bやb*bもJの元となっています。

ということで、abはIの元でもJの元でもあるので、I∩Ｊの元です。

ゆえに、IJの他の元a’b’も、I∩Ｊの元です。

元どうしの和と差も元になっているので、

ab+a’b’も、I∩Ｊの元です。

結局、IJのあらゆる元は、I∩Ｊの元となっています。

従って、イデアルIJ⊂I∩Ｊとなることがわかります。