ユークリッド整域

ユークリッド環とも、ユークリッド写像とも、次数写像ともよばれる。

定義は、整域Ｒにおいて、

0と異なる元aに対して、負でない整数g(a)が対応しているものとする。

（元aが整数であることは条件には無いことに注意）

1: Rの0でない元a,bに対して、g(ab)≥g(a)

2: Rの0でない元a,bに対して、a=bq+rを成り立たせるRの元q,rは、ただ一組しか存在しない。なお、r=0か、そうでなければ、g(r)<g(b)が成立している。

ユークリッド環の任意のイデアルは単項イデアルであるため、任意のユークリッド環は一意分解環である。

ユークリッド整域は、任意のイデアルが単項イデアルであるので、主イデアル整域でもあるし、当然、一意分解整域でもある（し、当然整閉整域でもある）。

定義について

Rの元a,b（b≠0）を考える。

ユークリッド整域では、必ず

a=bq+r

環Ｒにおいて、普通、元aとbの積ab=0であれば、a=0またはb=0であると考えるだろう。

ところが、例えば行列\(\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)である。

つまり、0でないものどうしの積が0になることが、ある。

これを零因子という。

さて、しっかりと定義するなら、環において、

零因子ではない元のことを非零因子（もしくは正則）とよぶ。

０でない零因子は「0でない零因子（そのまま）」とか、非自明な零因子などとよばれる。

ということで、0も零因子である。

環が乗法において可換でなければ（ax≠xa）なら、零因子には左右の区別がある。例えば、上の行列の例では、AB=Oとなるなら、BにとってはAが左零因子であるし、AにとってはBが右零因子である。