素元分解
可換環において、元を素元の積の形に分解することを素元分解とよびましょう。
一意分解整域
0でも単元でもない元が、必ず素元分解される整域を指します。
整域における素元分解は、一意である
整域において、ある元Kが、素元p,qを用いて2通り、すなわち
K=p1*p2*…pi=q1*q2*…qjとあらわせたとします。（i≦jとしてよい）
下記の補足のとおり、p1は、q1~qjのいずれかを割り切ります。
仮に、q6などを割り切るとして、しかし、q6=r1となるような素元rを定めることは問題ありません。
結局、p1|r1となり、r1=X1p1とかけます。
自明にr1|X1p1なので、素元の定義から、r1|X1またはr1|p1です。
もしr1|p1ならば、p1|r1とあわせて、p1とr1は同伴です。その場合、X1は単元となります。
もしr1|X1ならば、X1p1|X1となります。下記の通り、p1は単元になりますので、p1が素元であることと矛盾します。
結局、p1とr1は同伴です。
これを繰り返していくと、p1≈r1, p2≈r2,…pi≈riとなって、
K=p1*p2*…pi=r1*r2*…ri*「余りのq?」という式になります。
一般に、同伴な元どうしの積は、やはり同伴ですから、P≈Rであって、
P=R*「余りのq?」とかけます。
P|RかつR|Pですから、P=gRかつR=hPとかけて、代入すると、R=hgRとなって、すなわち、R(1-hg)=0なので、整域であれば、hg=1、すなわち、hもgも単元です。結局、単元Eを使って、P=ERあるいはR=EPとかけます。
P=R*「余りのq?」については、結局、余りのqの積は、単元Eでしたので、
K=p1*p2*…pi=q1*q2*…qj=r1*r2*…ri*E=r1*r2*…ri(i≦j)
（p1=r1, p2=r2,…pi=riです）
とかけて、結局、素元分解は、整域において一意となることがわかります。
「AB|AならBは単元である」
一般に、AB|Aとなるとき、適当な元kを用いて、ABk=Aですから、
A(Bk-1)=0です。整域であれば、Bk=1となります。ゆえに、Bは乗法的可逆元をもつので、単元となります。
素元pについて、p|abならばp|aまたはp|bでした。
さて、
p|a1*a2,…anならば、p|a1またはp|a2a3…anとなります。
p|a1なら、終了とします。
もしp|a2a3…anなのであれば、p|a2またはp|a3a4…anとなります。
p2なら終了です。
これを繰り返すと、
「p|a1*a2,…anならば、pは少なくともa1|anのいずれかを割りきる」ことが証明できます。
