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代数的構造:代数体

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代数体Kとは、有理数体Qの有限次代数拡大体のことである。

例えば、拡大次数が2次であれば、その代数体は二次体とよぶ。

直感的に言えば、有限個の代数的数をQに付け加えてみる。

それが、結果として体になっていれば、代数体(有限次代数体とも)という。

表記として、代数的数Θを添加すれば、Q(Θ)と表現できる。

さて、最も単純な代数体である二次体について、

平方因子を含まない0,1以外の整数dを用いて、Q(√d)と表現できる(d=9だと√をとると3になって単なる整数になってしまうので、平方因子を含まない必要がある)。

さて、二次体Kについては、元Θが存在して、Kの任意の元αは、a0~an-1を有理数として、

α=a0+a1Θの形で必ず表現できるという特徴がある。

たとえば、新たに付け加えるものは、有理数はすでにあるので、無理数√2などとして(Θを√2として)みると、

α=a0+√2*a1

となる。すなわち、二次体Kの元というのは、a1が0であれば普通の有理数であるし、0でなければ、有理数に、√2の有理数倍を掛けたものを足したもの(無理数と有理数の和はやはり無理数なので、無理数の元がたくさん増えたことになる)であることがわかる。

このことから、二次体だからといって、元に√2を足しただけ、なのではなく、「有理数(分数)の元に、√2という概念を追加して表現できる元をすべて追加した」のが二次体なのである。もちろん、これが√3でも二次体はできる。

定義を書けば、Kがn次の代数体だとすれば、Kの任意の元aについて、有理数をq0~qn-1として、

a=q0+q1k+…+qn-1kn-1

を満たすようなkが必ず存在することになる。

三次体を考えてみる。

Θに√2を入れると、結局は、√2の2乗は2であるから、二次体と元が同じになっている。つまり、Θが平方根だと、何次体であろうが、二次体と元が変わらないのである。(つまり、qはあらゆる有理数を入れることができるので、それがq1だろうが、q1+2q2の形だろうが、q1+2q2+3q3の形だろうが、あらゆる有理数を元としてもつことに変わりはないのである。)

ここで、Θに三乗根3√2を入れるとどうなるか。

まず、二次体は、有理数に、3√2の有理数倍を加えた元になっている。

三次体は、有理数に、3√4の有理数倍(もちろんゼロ倍含む)と3√2の有理数倍(もちろんゼロ倍含む)を加えた元になっている。

ところが、四次体は、3√8が2で有理数であるから、三次体と元は同じになっている。このように、累乗根の指数と、n次体のnは、一致するところまでは、順番に異なる元となるが、それを超えると、特に元に何かを追加することはない。