代数的構造：分数体

分数体 field of fractions（商体 field of quotientsとも）

整域Rに対して、それを部分環として含む最小の体のことを、分数体とよぶ。

整域Rの商体の元は、整域Rの元a,b(なお、a≠0)を用いて、

分数b/aとして表現できる。このことを、fractureの文字を用いて、

Frac(R)≔{b/a｜b,a∈R,a≠0}とも表現できる。

というか、aとbは整数とは限らないので、いわゆる「分数」ではないのだが、

割り算の形の集合も、体になる、ということである。

分数体の例

有理整数「環」Ｚを考える。これを部分環として含む体は、いくつかあるが、

簡単に言えば、任意の有理数は整数を用いて分数の形で表現できるので、有理数体Ｑは、整数環Ｚの商体である。しかし、その「最小の」という表現に、いかほどの意味があるかは後日まとめることにする。

なお、有理整数環Zは、代数体Kに含まれるすべての「整な元」からなる環である。難しく言っているが、結局、整数全てからなる環のことを指しているように思える。結論から言えば、「我々のよく知る」整数全てからなる環である。下記に詳細を記すとして、有理整数の環を部分環として含む体は、有理数体Ｑ、実数体、複素数体、などがある。そのうち最小であるのは、明らかに有理数体Ｑである（詳細は省略）。

さて、いわゆる我々の考える整数とは、正しくは「有理整数」、すなわち「有理数に含まれる整数」なのである。したがって、このようなややこしい定義が必要となる。

では、有理数に含まれない整数などあるのか？という疑問であるが、

代数的整数論においては、ある。

ガウスによれば、iを虚数単位として（二乗して-1になる数←そんなものがあるのか？という問いについては、そのように定義した、とだけ回答することで足りる）

a + biは、ガウス整数である（彼は複素整数と呼んだが）。b=0とすれば、我々のよく知る整数となり、正確には有理整数とよばれている。

このように、整数という言葉の定義は、実はかなり拡張されているので、混乱しないようにしたい。本ＨＰでは、明らかな場合は単に有理整数を整数と記載することとする。

代数体とは、

整な元とは、c₀~c_n-1全てを有理整数として、

xⁿ+c_n−1xⁿ⁻¹+…+c₀=0を満たすxである。

下記にあるように、これは「元xは有理整数集合Ｃの上で「整」である」ということができる。

代数体Kとは、有理数体Qの有限次代数拡大体のことである。

例えば、拡大次数が2次であれば、その代数体は二次体とよぶ。

直感的に言えば、有限個の代数的数をＱに付け加えてみる。

それが、結果として体になっていれば、代数体（有限次代数体とも）という。

表記として、代数的数Θを添加すれば、Ｑ（Θ）と表現できる。

さて、最も単純な代数体である二次体について、

平方因子を含まない0,1以外の整数dを用いて、Ｑ（√d）と表現できる（d=9だと√をとると3になって単なる整数になってしまうので、平方因子を含まない必要がある）。

さて、二次体Kについては、元Θが存在して、Kの任意の元αは、a₀~a_n-1を有理数として、

α＝a₀+a₁Θの形で必ず表現できるという特徴がある。

たとえば、新たに付け加えるものは、有理数はすでにあるので、無理数√2などとして（Θを√2として）みると、

α＝a₀+√2*a₁

となる。すなわち、二次体Ｋの元というのは、a₁が0であれば普通の有理数であるし、0でなければ、有理数に、√2の有理数倍を掛けたものを足したもの（無理数と有理数の和はやはり無理数なので、無理数の元がたくさん増えたことになる）であることがわかる。

このことから、二次体だからといって、元に√2を足しただけ、なのではなく、「有理数（分数）の元に、√2という概念を追加して表現できる元をすべて追加した」のが二次体なのである。もちろん、これが√3でも二次体はできる。

定義を書けば、Ｋがn次の代数体だとすれば、Kの任意の元aについて、有理数をq₀~q_n-1として、

a=q₀+q₁k+…+q_n-1k^n-1

を満たすようなkが必ず存在することになる。

三次体を考えてみる。

Θに√2を入れると、結局は、√2の2乗は2であるから、二次体と元が同じになっている。つまり、Θが平方根だと、何次体であろうが、二次体と元が変わらないのである。（つまり、qはあらゆる有理数を入れることができるので、それがq₁だろうが、q₁+2q₂の形だろうが、q₁+2q₂+3q₃の形だろうが、あらゆる有理数を元としてもつことに変わりはないのである。）

ここで、Θに三乗根³√2を入れるとどうなるか。

まず、二次体は、有理数に、³√2の有理数倍を加えた元になっている。

三次体は、有理数に、³√4の有理数倍（もちろんゼロ倍含む）と³√2の有理数倍（もちろんゼロ倍含む）を加えた元になっている。

ところが、四次体は、³√8が2で有理数であるから、三次体と元は同じになっている。このように、累乗根の指数と、n次体のnは、一致するところまでは、順番に異なる元となるが、それを超えると、特に元に何かを追加することはない。