整域
零因子をもたない可換環のこと。
勘違いするかもしれないが、整域とは、整数域ではない。
あくまで、零因子をもたない可換環であって、整数とは限らない。
可換環の復習であるが、乗法が可換な、環（加法と乗法を二項演算にもつ集合で、加法が可換、加法と乗法は結合則、乗法は加法の上に分配的、加法の逆元・単位元が存在する）である。
整閉整域
整域Ａと、その分数体Frac(A)を考える。
分数体Frac(A)の元xについて、下記の単多項式（単多項式の単とは、n次の多項式において、最高次の係数が1であることを言う）を考える。
xn+an-1xn-1+…a0=0(ai∈A)
「どのようなnについても、上記の式を満たすようなxは、必ず整域Ａの元である」という条件を満たすとき、Ａは整閉整域である。
分数体は、整域を部分環として含む最小の体のことである。
わかりやすいイメージとして、零因子をもたない可換環(＝整域)Ａとして有理整数の集合…-3,-2,-1,1,2,3…を考える。もちろん、環としての性質と乗法が可換であるという可換環としての性質をクリアしている。
分数体として、b/aを考えるとき、aに1を選べば、分数体Frac(A)の元は当然に整域Ａの元すべてを網羅している。
もちろん、有理整数から作られる有理数（いわゆる我々がよく知る分数）を大量に元にもっているので、分数体Frac(A)の方が元の数は多い。
さて、xn+an-1xn-1+…a0=0(ai∈A)の式を、もし
整域Ａの元以外で満たすことができてしまうと、Ａは整閉整域ではないことになる。すなわち、どのようなnであっても、xに例えば、複素数や、実数、無理数、有理数を入れたときに、a（整域Ａの元なので、零元ではない。今回は、0以外の有理整数）にうまく良い値を代入すれば上の式が成り立つのであれば、Ａは整閉整域ではない。
aは有理整数なので、xが複素数であれば、虚数単位が発生して、アウトである。xが無理数であれば、やはり、不可能である。xを√2として、単純にn=2とすれば、x2+a1x+a0=0の式になる。√2を代入すると
2+a1√2+a0=0となり、無理数と有理数に分けて考えれば、
a1√2+(2+a0)=0となる。整域の元であるa1はルール上0ではないので、a0を-2として有理数を0としても、a1√2を0にすることはできない。
nによっては、無理数の係数を0にできるかもしれないが、あらゆるnについて、特にn=2について無理数の係数を0にすることは、上記の√2だけでなく、あらゆる無理数について明らかに不可能である。
似たような証明で、有理数（（有理）整数以外）も、不可能である（n=2について、有理数の係数を0にできない）。
結局、整数以外の項の係数を特にn=2において0にできないので、整数でしかありえない。ゆえにAは整閉整域である。
分数体について補足
勘違いするかもしれないが、分数体は、我々のよく知る、整数が分母分子にくるような分数が集合してできた体ではなく、もととなっている整域の任意の2つの元a,bを用いてできるb/aという元が集合したものである。
つまり、整域の元が（有理）整数（有理整数とは１，２，３，４…といういわゆる整数のこと。有理整数ではない整数を、数学の世界では定義しているので、混乱が生じやすい。例えば、ガウス整数は、整数ではあるが、虚数単位iを含んでいるので、複素整数とも呼ばれる。）ではないこともあり、整数ではないもの同士の「分数」ともなりえるし、片方が整数となったり、極端な例としては、a=1となれば、b/a=bともなる。ということは、整域が単位元1（必ずしも単位元が1とは限らないが）を含む場合、分数体の元は、もとになっている整域の元すべてを網羅していることになる、というより、網羅していなければ、もとの整域を部分環として含む、というルールに反する。
つまり、整域の元2個を使って分数を作ることは、もちろん可能であり、それの集合を考えることも自由にできるが、その結果、その集合が、もとの整域を部分環として含んでいれば分数体と呼べるし、当然、含んでいないケースもあるということである。
整閉
Ｂを環、Ａを部分環とする。
Ｂの元bとＡのn個の元a0,a1,…an-1を考える。
bn+an-1bn-1+…+a1b1+a0=0
という等式について、これを満たすようなnとＡの元が存在すれば、
bはＡの上で、「整」である。
整閉整域の条件と似ているが、こちらは、Ａは整域とは限らず、単に部分環であり、Ｂはその分数体とは限らずＡを部分環にもつ環である。ゆえに、少しゆるい条件になっている。
直感的には、Bの元bは、Aの元をうまく駆使すれば表現できる（b=kaという形ではないが、おおむね、「表現できる」という語句がしっくりくる）、という意味である。例えば、Ｂの元bが√2だったとして、Ａが有理整数の集合であれば、どの元をどう駆使しても、√2の係数を0にすることができない。
整拡大と整数包
Ｂのすべての元がＡの上で整であるとき、
ＢはＡの整拡大である、という。
直感的には、Ａの整拡大であるＢのすべての元は、Ａの元を駆使すれば「表現」できる。
ここで、bのように、Ｂの元であって、Ａの上で整であるものすべてを集めると、Ｂの部分環となる。この集めたものを、ＢにおけるＡの整数包という。
直感的には、Ｂの整数包は、整数包というガードに包まれており、その中の元すべては、Ａの元を駆使すれば表現できる。
この集めたものが、Ｂそのものであるときは、上に記したように、Ｂのすべての元がＡの上で整であるわけであるから、ＢはＡの整拡大である、ということになる。
整閉
ＢにおけるＡの整閉包が、Ａそのものであるとき、
Ａは、Ｂにおいて整閉である、という。
直感的には、ＢにおけるＡの整閉包は、Ａの元を駆使すれば表現できる状態で、しかもそれがＡそのものであるわけだから、つまり、Ｂの元のうち、Ａの元を駆使して表現できる元はＡそのものだけである。
言い換えれば、Ｂの元であってＡの元ではないものは、すべて、Ａの元をどう駆使しても表現できない状態である。
詩的に言えば、Ｂにおいて整閉であるＡは、Ｂの世界の独自の部分（Ａの元ではない部分）を、どうやっても表現できない。
整閉包の例
整数「環」Ｚと、有理数「体」Ｑを考える。（体は、環よりも厳しい条件をクリアしているので、環でもある。また、整数は有理数の一部であるから、ZはQの部分環である。）
元qが環Zの上で整であるためには、
Qの元qとZのn個の元z0,z1,…zn-1を考える。
qn+zn-1qn-1+…+z1q1+z0=0
をみたすようなn個の元zの組み合わせが存在するかどうかを考える。
Zの元zは全部整数である。
Qの元qは全部有理数である。
単純に、nが3のとき、
q3+z2q2+z1q+z0=0
有理数とは、分数のこと（分母が１のときは整数になるが）であるから、
もし、有理数qが1/3などであれば、
1/27+1/9z2+1/3z1+z0=0となって、整数の元zではこの等式を満たすことができない。こういったことをしっかり証明すれば、
「有理数qが整数のときに限り、有理数体の元qが整数環Zの上で整である」ことがわかる。
つまり、整数環Ｚと、有理数体Ｑについて、Ｑの元のうち、Ｚの元を駆使して表現できる元、すなわちＺの上で整である元とは、Ｚの元そのものである。つまり、ＱのＺにおける整閉包は、Ｚそのものであって、ＺはＱの中で整閉である。
