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写像

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写像の定義

集合S1の「任意」の元を集合S2 の「 1 つ」の元に対応させる規則Fを、集合S1から集合S2への写像とよび,μ:S1→S2と表現する。

言い換えれば、S1の任意の元aは写像によって必ずS2のある元bに対応し、かつ、1つのaが異なる2つ以上のbに関係しない。

S1をμの定義域、S2値域とよぶ。

S1の元aがS2の元bに対応することをμ:a↦bと表現する。

b はμ(a)とも表現できて、μ(a)をaの像、aをbの原像とよぶ。

単射、全射、全単射

aの値が決まればbの値がきまるのが写像である。

さらに、「a1≠a2であれば、μ(a1)≠μ(a2)であるとき」は、μは1対1の写像であり、単射である。つまり、異なるaの値に対して必ず異なるbの値が定まる。

写像μが、すべてのb∈S2に対してμ(a)=bとなるa∈S1をもつとき、μはS1からS2上への写像である、または、全射である、という。つまり、すべてのbの値に対して、その値を得られる元aが存在する。全射であったとしても、元aがただ一つに定まるとは限らない。

全射でかつ、bに対して元aがただ一つに定まる場合(単射)は、全単射である。