特定の元から生成されるイデアルの性質
最小のイデアルどうしの和
元aを含む最小のイデアルを（a）と示し、
元a,bを含む最小のイデアルを（a,b）と示すことにしましょう。
イデアルＩ、Ｊどうしの和と積が定義できることは先述の通りです。
（a）+(b)は、実は、（a,b）と一致します。
直感的に言えば、aを用いて和と差、そしてaとRの元rとの積、その積どうしの和と差の集合が（a）であって、同様の（b）との、
2つの任意元どうしの和の集合が（a）+（b）であって、
a,bを用いて和と差、そしてaとrとの積、bとrとの積、積どうしの和と差の集合が（a,b）となります。
結局のところ、af(r)+bf(r) | 「f(r)はrのあらゆる和と差と積のパターンの集合のうちの、任意の元で、aとbの係数が異なるものでも良い。」
の形でどちらも表せます。
ゆえに、(a)+(b)=(a,b)です。
最小のイデアルどうしの積
さて（a）（b）はどうでしょう。イデアルどうしの積のルールから、
af(r)*bf(r)のあらゆる組み合わせの元の集合となっていることがわかります。
ここで、（ab）を考えます。
abの和と差、abf(r)やさらにその和と差になりますが、
結局のところ、ab*f(r)のあらゆるパターンの集合となっています。
さて、（a）（b）も結局は、ab*f(r)*f(r)と書いてみましたが、前のf(r)と後のf(r)は違うものでも良く、しかも、f(r)*f(r)も結局はrの和と差と積のあらゆるパターンの集合なので、f(r)と表せます。
ということで、実は(a)(b)=(ab)となっています。
単項イデアル
可換環Ｒの任意の元a（0以外）を考えます。
当然、aを含む最小のイデアル、(a)は、
aによる和と差および、f(r)との積さらにそれらどうしの和と差を元に含みます。
それは、aによる和と差というのは、aの整数倍数ということであり、aの倍数と何らかのf(r)との積に、さらにaの倍数と何らかのf(r)との積を足したり引いたりしたところで、
結局は、aの倍数とf(r)との積になります。
さて、この場合、f(r)は、元rどうしの和と差でしかないので、可換環Ｒの元になっています。ということで、aを含む最小のイデアル(a)は、必ず、aの倍数とrとの積になっています。
ここからが肝心なのですが、実は可換環Ｒが多変数多項式環などであれば、aの係数とのrとの積が、必ずしも可換環Rの元になっているとは限りません（いずれ説明します）。
可換環Ｒが整数である場合は、
aの倍数において、aの係数とrとの積は、例えば、r+r+r+r+rが可換環Ｒの元になっている（整数であれば必ず）わけですから、
シンプルに、aを元にもつ最小のイデアル(a)は、{af(r)}だとか、もっとシンプルに、{ar | r∈R}だとか、書けることになります。
なお、{ar | r∈R}を、Raと示しても良いことにしましょう。
このような場合、可換環Ｒの任意の0ではない元aから生成される最小のイデアル
（a）=Ra={ar | r∈R}という等式が成り立ちます。
これを、aによって生成される単項イデアルと呼びましょう。
端的に言えば、イデアルが、特定の元a（単項）と、可換環Rの任意の元との積の集合そのものになっています。
単項イデアル環
可換環Ｒのうち、整数集合のように、あらゆるイデアルが単項イデアルになるときは、可換環Ｒを単項イデアル環とよぶことにしましょう。
単項イデアル整域
さて、可換環Ｒが零因子をもたないときは、整域Ｒとよぶことにしましょう。
整域Ｒのうち、あらゆるイデアルが単項イデアルになるときは、整域Ｒを単項イデアル整域とよぶことにしましょう。
整数が単項イデアル整域であるかどうか
0以外の整数集合ℤのイデアルＩについて、I={0}のときは自明に単項イデアルとなります。
I≠{0}であれば、イデアルIの元には、必ず自然数が含まれています。
（たとえば、負の数のみを含むイデアルがあったとして、その数に、ℤの元-1をかけたら正の数になり、それはイデアルの元であるはずなので、矛盾しています。）
除法の原理により、任意の整数aについて、
a=bq+r, 0≦r<|b|となる整数q,rが一組だけ存在します。
ここで、aがＩの任意の元だとして、bを、イデアルの最小の自然数の元だとおいても問題ありません。
bを含む最小のイデアルを（b）とすると、（ｂ）⊂Iとなっています。
なぜなら、bどうしの和と差はやはり(b)の元であり、Iの元でもあります。
また、bとℤの元zとの積bzは、bがイデアルIの元であるから、同じく、bzはイデアルIの元でもあります。
ということで（b）の元はすべてＩの元になっています。
ちなみに、もし、Iの任意の元aが、すべてｂを含む最小のイデアル（b）の元になっているのであれば、まさに（b）はIそのものということになります。
イデアルの性質から、aq,ar,bq,brなどはすべてイデアルの元になっています。さらに、イデアルの元どうしの和と差もイデアルの元です。
特に、aとbがイデアルの元なので、bqおよびa-bqもイデアルの元です。
すなわち、上の式から、a-bq=rもイデアルの元です。
ところが、bは自然数であるから、0<r<|b|=bとなると、bが最小元であることに矛盾するので、結局、r=0でしかありません。
ということで、a=bqとなっています。
ということは、q∈ℤですから、aはbを含む最小のイデアル（b）の元になっています。上記の理屈から（b）はＩそのものです。
ということで、整数において任意のイデアルＩを考えたときに、それはすべて（ｂ）と一致し、この形は単項イデアルであるから、
整数は単項イデアル整域である、ということになります。
ちなみに、整数が単項イデアル整域であることを示すのであれば、整数集合ℤの任意のイデアルIについて、それは実は、0でない特定の元aを含む最小のイデアル(a)=Ra={ra | r∈R}に必ずなることを示せばよいことになります。aとするからややこしいのであって、別にbでもcでも良いのです。
