四面体数
三角数を球で作って積み上げていくと四面体ができるのが想像できると思います。
当然、四面体の球の個数≔Tetnは、Δ1+Δ2+…+Δnとなります。これを四面体数とよびましょう。
三角数の公式から計算すると、Tetn＝
Σ[k=1~n]k(k+1) = {n(n+1)(n+2)}/6となります。
なお、[]でΣの内容を表すことで、数式表現の簡略化を行ってみています。なお、Σは、順番に足していく、という記号です。
四角錘数
四角数というものを、1,4,9…といった平方数として定義しましょう。
四角数を球で作り、順に積み上げると四角錘ができることが想像できると思います。
四角錘数と名付けましょう。四角錘数は、n^2の和なので、四角錘数≔PyrnΣ[k=1~n]k^2={n(n+1)(2n+1)}/6となります。
また、四角錘数≔Pyrn=Tetn+Tetn-1
でもあります。Tetn+Tetn-1={n(n+1)(n+2)}/6+{(n-1)n(n+1)}/6を計算してみると、一致します。
立方数の和
いくつか証明方法はありますが、
立法数の和はΣ[k=1~n]k3=n2(n+1)2/4となります。
