微分の合成

微分の合成

f(X)=3X、g(X)=2X+1としましょう。

Xを省略しますが、

f’=3、g’=2となります。

ここで、f(X)のXのところに、g(X)をまるごと代入することを考えましょう。

（こういう考え方を合成関数といいます）

f(g(X))=3g(X)となるのがおわかりかと思います。

=3(2X+1)です、

ここで、代入したあとの関数全体の導関数を、

f(g(X))’とかけば、=3*(2X+1)’=3*2=6です。

さて、少し表記がややこしいのですが、

f'(X)のXのところにg(X)を代入したものを、

f'(g(X))と書きましょう。’の位置が違うのがわかると思います。

つまり、f(g(X))’というのは、f(g(X))の導関数なので、代入してから導関数を求めているのに対して、f'(g(X))は、一度fの導関数を求めてから、そのXにg(X)を代入しています。

さて、f'(g(X))は、3Xの導関数である3に、g(X)を代入するのですが、Xについて０次ですので、f'(g(X))は結局3です。

さて、さらに、g’を考えますと、2です。

f'(g(X))*g’=3*2=6となっており、上記と一致します。

実は、合成関数全体の微分は、土台となる（いろいろな表現がありますが）関数fの導関数を先に導いておいて、そこに合成する関数を代入したものと、

合成する関数の導関数との積に等しいことになります。