多項式
可換環Rについて、Xについての一変数多項式をR[X]と表記することにしましょう。
たとえば、虚数√-5などを使って、R[√-5]などと表記することも可能としましょう。
可換環Ｒが整数集合ℤであれば、これはℤ[√-5]とかけます。
一般に、多項式f(X)=Σ[i=0~n]kiXiとかけます。
不定元
多項式環や、形式的べき級数環の「定数」を、不定元とよびましょう。
ただし、不定元を、文脈上、「変数の一種」のように取り扱っても良いこととしましょう。
多項式への不定元の挿入と、導関数
R[X]の多項式f(X)=Σ[i=0~n]kiXi
に、不定元hを挿入してみましょう。
R[X,h]と表記して、XにX+hを代入して、hに関するn次多項式としてみてみます。
そうすると、f(X+h)=Σ[i=0~n]ki(X+h)i
=f(X)+f1(X)h+f2(X)h^2+…+fn(X)h^nとなります。
これは、考えてみるとわかるのですが、
i=0~2として、順に、（X+h）^0=1、(X+h)^1=X+h、（X+h）^2=X^2+2Xh+h^2
ですから、hでまとめると、(1+X+X^2)+h(1+2X)+h^2(1)となり、
それぞれをやはりXの関数f(X)として考えて、
f(X)+f1(X)h+f2(X)h^2などと確かになっています。
この、hの1次の係数f1(X)をf(X)の導関数とよびましょう。
f'(X)とかくことにしましょう。
そして、導関数を求めることを微分する、とよびましょう。
Xについての導関数を求めるときの記号を、σを使って、
σ/σXとしましょう。
ゆえに、σ/σX(aX+b)は、XにX+hを代入して、
a(X+h)+b=(aX+b)+ahとなり、1次のh^1の係数f1(X)であるaが回答になります。
