整数の特徴

自然数

0,1,2,3,4…を自然数と呼びます。

自然数全体の集合をℕと表すこととします。

ℕ＝｛0,1,2,3…｝

集合と元

詳しくは別記しますが、

いちいち「自然数全体の」などと書くのはめんどくさいので、

ℕと書けば、自然数全体の集合を表すことにしています。

集合とは、その名の通り、いろいろなものが集まったものです。

3年Ｂ組が3人しかいないクラスで、田中君、佐藤さん、山田君がいたとして、3年Ｂ組={田中君、佐藤さん、山田君}という書き方になるわけです。

ちなみに、それぞれの人を「元」といいます。田中君も元、佐藤さんも元、山田君も元です。

もちろん、自然数全体は書ききれないので、「・・・」と表します。

ちなみに、自然数はNatural numberなので、頭文字からℕと表現します。

単純にNと書いてしまうと、他の記号と混乱してしまうので、

集合を表すときは、二重線で示すことが多いようです。

整数

さて、０でない自然数の集合を正の整数と定義します。

整数は英語ではwhole number（直訳：数全体）なのですが、

ドイツ語ではGanze Zahlといい、その頭文字からℤを整数全体の集合に使います。

正の整数集合は、ℤ⁺と表現することにします。当然、{1,2,3…}となります。

負の整数集合は、ℤ^–と表現することにします。｛…-3,-2,-1｝となります。

「整数集合」

整数集合ℤは、これらに0を追加したものになるので、

ℤ＝｛…-3.-2.-1.0.1.2.3…｝となる。

なお、nを正の整数（0以外の自然数）として、-nとは、nとの和が0になるようなものをいうこととし、負の整数と表現することにする。

想Ｅ見Ｅ応Ｅ

これで、こころおきなく減算をすることができます（自然数では、大きい数から小さい数を減算することしかできませんでした）。

加法群

「加法群」

集合Ｇの任意の2つの元a,bを考える。

任意の、とは日本語的には「適当に選んだ」、というニュアンスもありますが、しかし、数学においては、あらゆる、とか、どのようなものを選んでも、という意味があります。

加法(いわゆる加算のこと)a+bが定義できて、

整数については「加算」とよばれていますが、厳密には、「加法」といいます。

その和が集合Ｇに含まれるとき、

例えば、集合｛1,2,3｝については、確かに1+2=3で和の3は集合の元ですが、任意のもの（あらゆるパターン）について考えると、1+3=4で、和の4は集合｛1,2,3｝の元ではありません。従って、任意の元の和が、必ず集合の元になっているとは限らないわけです。

以下の4つの性質を満たせば、集合Ｇを「加法群」と定義することとする。

性質１：結合律

任意の3元a,b,cについて　(a+b)+c=a+(b+c)

性質２：零元（ぜろげん）の存在

任意の元aについて、a+0=0+a=aとなるような「0」が元として存在する

０が存在するのは、あたりまえに思うかもしれませんが、例えば、正の整数の集合については零元は存在しません。

性質３：逆元の存在

任意の元aについて、a+(-a)=(-a)+a=0となるような元-aが存在する。

やはり、正の整数の集合については逆元は存在しません。自然数については、元0に対してのみ、逆元0が存在することになりますが、任意の元という条件はもちろん満たしません。

性質４：可換律

任意の元a,bについて、a+b=b+a

想D見Ｄ応D

乗法群

「乗法群」

上に示した性質と類似したものが、乗法（いわゆる乗算）について成り立つ場合、その集合Ｇは乗法群とよぶこととする。

任意の3元a,b,cについて

性質1：結合律

(ab)c=a(bc)

性質２：単位元（零元ではない）の存在

a*1=1*a=aとなる1が元として存在する（乗法では1を単位元とよぶことにします）

性質3：逆元の存在

a*k=k*a=1（単位元）となるようなkが元として存在する（積が単位元になる元を逆元とよぶことにします。

なお、整数集合には逆元は存在しません。-1,0,1には存在しますが、例えば、2の逆元1/2は整数ではありませんので、任意の元については成立しません。

性質４：可換律

a*b=b*a

じつは、乗法群の条件は、加法群に比べて、なかなかに厳しいものです。

可換乗法群

「可換乗法群」

集合Ｇが、加法群であり、かつ乗法群であれば、その集合Ｇは可換乗法群とよぶこととする。わざわざ可換をつけるのは、乗法で可換律を成立させるのは、わりと難しい条件であるからである。また、「加法」の文字が消えているので、実際には「可換加法可換乗法群」と書いても良いのかもしれない。

可換乗法群だと名前が長いので、可換群でも良いことにします。また、発見者アーベルにちなんで、アーベル群でも良いことにします。

非可換乗法群

「非可換乗法群」

集合Ｇが、加法群であり、乗法について可換律以外の３性質を満たす場合、その集合Ｇは、非可換乗法群とよぶことにする。やはり、加法についても書くなら、可換加法非可換乗法群とよんでも良いかもしれない。

非可換乗法群という名前は長いので、単純に、群でも良いことにします。

想C見Ｃ応Ｄ

環

さて、集合Ｇが、乗法について、

結合律、単位元、逆元、可換律を満たせば、「乗法群」でした。

もし集合Ｇが加法群でもあれば、可換加法可換乗法群、省略して、可換群とよぶことにしました。

さて、集合Ｒが加法群であって、乗法について、

結合律、単位元、可換律の3つのみ満たしており、

かつ、分配律（任意の元a,b,cについてa(b+c)=ab+acが成立する）

を満たしている場合の集合Ｒの呼び方を考えます。

この場合、集合Ｒを、可換加法可換乗法（逆元不存在・分配律成立）群、とよぶこともできます。

しかし、ここは、「群」という言葉をやめて、可換加法可換乗法（ただし、逆元不存在・分配律成立）群のことを、単純に、可換環とよぶことにします。

想C見D応D

ということは、可換環（可換加法可換乗法（ただし、逆元不存在・分配律成立）群）の条件を満たす集合Rが、もし、乗法について逆元が任意の元について存在するのであれば、その集合Ｒは、可換加法可換乗法群ですから、ちぢめて、可換群であることになります。

非可換環

可換加法非可換乗法（ただし、逆元不存在、分配律成立）群のことを、非可換環とよぶこととする。もしくは、単純に、「環」とよんでも良いこととする。

整数は乗法群ではないが、可換環である

整数は、乗法について、結合律と単位元1の存在と可換律が成立する。

しかし、乗法の逆元を、1と-1以外もたないので、乗法群ではない。

整数は、可換加法可換乗法（ただし、逆元不存在、分配律成立）群である。ゆえに、整数は可換環である。

零因子

可換環Rの元aが、0でない元bをかけることで0になるとき、aを零因子とよぶ。

aは0しかありえないという感覚は間違いではないですが、例えば、「行列」の世界では、0でないものどうしを掛け算して0になることがあります。

そこで、0以外に零因子をもたない可換環と、

0以外に零因子をもつ可換環を区別することにします。

整域

0以外に零因子をもたない可換環を整域とよぶことにします。

順序環

可換環の元に順序が定義されるとき、その可換環を順序環とよぶことにします。

たとえば、a≦b≦cなどです。正確には、c-bが0か正であればb≦cが成り立つものとします。

複素数の3iと5iなどは、5i-3i=2iであって、2iは虚数なので、そもそも0でも正でもありませんから、順序という考え方は複素数においては成立しません。