既約元と極大イデアル
単項イデアル整域限定ですが・・・
mが既約元であるとき、定義から、mは0でも単元でもなくて、かつ、
単元E（乗法的単位元をもつ。Eはすべての元の約元であって、mE|m、m|mEなどが成り立つ。）と、mと同伴な元n（m|nかつn|m）の積として、m=Enと表せます。
ここで、単項イデアル整域において、（m）が極大イデアルをもつという条件の本質を考えます。
0でも単元でもない元mについて、（m）が極大イデアルであるとき、
一般に、Rの元a,bをもちいて、必ずm=abと表せます。
さて、イデアル（m）の任意の元は、cmと表せます。
cm=cab=ca*b∈(b)となります。
同じく、cm=cab=cb*a∈(a)となります。
すなわち、(m)⊂(a)かつ(ｍ)⊂(b)となります。
ここで、（m）は極大イデアルですので、その定義から、
（a）=（m）であるか、または、(a)=Rでしかありえません。
もし(a)＝(m)であれば、単元Eを用いて、a=Emとおけます。
m=ab=Embとなります。m(1-Eb)=0です。
Ｒは整域ですので、0以外に零因子は存在しません。
（ゆえに、整域でなければこの証明は不可能です。）
よって、Eb=1であり、bも、乗法的可逆元としてのEをもつことになるので、
bは単元です。
さて、(a)=Rの場合、乗法的単位元1∈（a）となっています。
ゆえに、1=raを満たすRの元rが必ず存在します。
これはaが単元であることを意味します。
結局、いずれにしても、a,bいずれかは単元であることが示せました。
これはすなわち、(m)が極大イデアルとなる元mについて、
m=abと書き表せば、かならずどちらか一方が単元である、という結論です。
たとえば、aが単元Eであった場合、m=Ebから、m|Ebです。単元の性質から、Eb|bかつb|Ebですから、結局、m|bかつ、b|Eb=mです。これは、
mとbが同伴である、という定義に合致します。
ゆえに、整域においては、
(m)が極大イデアルとなる場合、mは自身と同伴な元と、単元の積として表される、すなわち、mは既約元である、ということになります。
その逆も示してみましょう。
mが既約元である場合は、単元aと、mと同伴な元bを用いてm=abと表せます。
ここで、イデアル（m）の任意の元は、cmと表せます。
cm=cab=ca*b∈(b)となります。
同じく、cm=cab=cb*a∈(a)となります。
すなわち、(m)⊂(a)かつ(ｍ)⊂(b)となります。
bはmと同伴なので、同伴の元の性質から、(m)=(b)となります。
aは単元なので、（a）=Rとなります。
結局、（m）は極大イデアルです。
＊この証明には、零因子について、すなわち、Rが整域であることを用いていません。ゆえに、既約元mについては、可換環であれば、必ず(m)が極大イデアルとなります。
整域については、mが既約元であることと、（ｍ）が極大イデアルであることは、全く同一のことになります。
