同伴と倍元と約元
a,b,qを整数として、a=bqであれば、b|aと表記して、
aはbの倍元と表現しましょう。bはaの約元と表記しましょう。
a|bかつb|aであれば、a=±bとなります。
↓
↓
↓
実は、整数以外の可換環においては、そうとは限りません。
整数以外の可換環についても、割り算を定義できて、可換環の3つの元a,b,qについて、a=bqとなっていれば、a|bと表記しても良いこととしましょう。
a|bかつb|aであるとき、a,bを互いに同伴である、と表現して、
a≈bと記載しましょう。
同伴と同値関係と生成する単項イデアルの話
同値関係は、集合におけるグループ分けで、必ず、いずれかのグループ（同値関係）に分類され、重なることはないことは別記してあります。
互いに同伴な元は、同値関係にあります。
元aが生成する最小のイデアル、すなわち単項イデアル（a）は、元aをもとに、和と差と、「もとの可換環Ｒのあらゆる元」と「元aやその和と差」とのあらゆる積、およびそれらの和と差、を元にもちました。
整数で考えれば、結局は元aが例えば５であれば、５の倍数の集合になっているだけのことであると、おわかりかと思います。どうやっても１，２，３，４などは作れないはずです。
さて、「元a,bが生成する単項イデアルが等しい」ということと、aとbが互いに同伴であること、同じ意味になっています。
同値関係はグループ分けの概念なので、「値が等しい」というニュアンスとは少し異なります。同値関係は、その都度定義できる、グループ分けのルールであって、例えば、「偶数かどうか」などを同値関係のルールにしても良いことにしましょう。
aとbが同値関係であることと、a,bが同伴であることが同じ意味であるためには、
同値関係というルールを、同伴であること、と定めればＯＫです。
そのように定めないのであれば、同値関係であるからといいって必ずしも同伴でないことになります。
乗法の単元Eは、あらゆる元の約元であって、任意の元aについてa|EaおよびEa|aを満たすので、a≈Eaとなります。
この理屈は、自明かと思われます。整数でいえば、Eは1のことです。
既約という考え方を作る
可換環Ｒの、0でも単元（乗法的可逆元をもつ元）でもない（なにげに重要）元a（つまり、0以外の、乗法的可逆元をもたない元です。いかなる元kをもってしても、ak=1とはならない、ということです）の約元を探したときに、
単元（乗法的可逆元をもつ元）か、aの同伴元しかなかった場合に、
aは既約であるとか、aは既約元である、と表現することにしましょう。
既約でない元を、可約元として扱うことにしましょう。
素元という考え方
ここがかなりの混乱ポイントなのですが、
元pが2元a,bに対して、
「p|abであれば必ず、p|aあるいはp|bである」
ことを満たすとします。
このとき、pを素元とよぶことにしましょう。
素元と既約元の関係：ちなみに、単元と単位元は全く違うもの
まず、単元も単元ではない元も含めて、あらゆる元は、2つの元の積で（一通りとは限りませんが）表せます。これは、1や0を使えば良いことからも自明かと思います。
さて、p=abであるような元pを考えます（この時点では元pは0か単元かは指定しない）。
元pが、素元であったとします（素元の定義から、元pは、0でも単元でもありません）。
なお、p=abなわけですから当然、p|abでもあります。
ゆえに、「p|abであれば必ず、p|aあるいはp|bである」という素元のルールから、p|aであると仮定してみます。
約元の定義から、a=pcとなる元cが必ず存在します。
よって、p=abから、p=pcbとなります。
整理してp(1-bc)=0となるので、bc=1となります。
元bは、元cとの積が、乗法単位元である1になっているので、
「元cにとって元bは乗法的可逆元」です（乗法的可逆元とは、何らかの元との積が乗法単位元である1になるという定義でした。ちなみに、乗法的可逆元をもつ元を、単元とよびます。乗法的単位元1や、加法的零元0と混同しないようにしましょう）。
もちろん、「元bにとって元cは乗法逆元」でもあります。
よって、元bも元cも「単元（乗法的可逆元をもつ元）」です。
ということで、bは単元となります。
これはp|aを仮定したときの話です。
p|bを仮定すると、同様に、aが単元となります。
まとめると、
「p=abとなるようなpが素元であった場合、
aかbのいずれかは必ず単元となる」
ということになります。
さて、ここで、既約元の定義を思い出すと、0でも単元でもない元の約元が単元か、その元の同伴元に限ることでした。
元pは素元なので、素元の定義から、もちろん0でも単元でもありません。
その約元abについて、aかbのいずれかが必ず単元です。
あとは、もう一方がpの同伴元に限ることを示せばよいわけです。
結論から言えば、下記の通り、可換環における単元は、あらゆる元において、かならず約元になっています。
また、単元Eについて、もちろん元1の約元でもあり、E|1ですので、同じ元aとの積について、aE|aです。また、乗法単位元である1は、自明にあらゆる元の約元ですので、1|Eであって、a|aEとなります。結局のところ、aとaEは互いに同伴です。
さて、p=abについて、aが単元Eであった場合、p=Ebとなります。
上の定理から、Eb|bです。すなわち、p|bです。
さらに、上の定理から、b|bEです。pを代入すれば、b|pとなります。
p|bかつb|pを満たすので、定義から、pとbは互いに同伴な元です。
ゆえに、pは、単元aと、pと互いに同伴な元bの積であるから、（もしbが単元であればaが同伴元）pは、定義に従い、既約元ということになります。
結局、可換環Ｒにおいて、0でも単元でもない元pが素元であれば、必ず元pは既約元でもあることになります。
厳密には、0以外の零因子（つまり、AB=0のときに、必ずA=0またはB=0になる。当たり前と思うかもしれませんが、「行列」においては、そうとは限りません。）をもたない可換環、すなわち整域において、成り立ちます。
では、逆に、元mが既約元であるとき、元mは素元なのでしょうか。
ここで、驚くほど、イデアルの考え方が、威力を発揮します。任意のイデアルがすべて単項イデアルになる、単項イデアル整域を考えます。元aの生成する最小のイデアルを（a）と表します。
既約元mがm|abを満たすとします。mはabの約元なので、約元の定義から、mc=abとなる元cが存在します。
単項イデアル整域において、いかなるイデアルも、単項イデアルになりますので、mとaから生成されるイデアル（m,a）は、何らかの元cを用いて、単項イデアル(c)と等しくなります。（（m,a）とは、mの和と差、それと整域Rの任意の元との積、そしてaの和と差、整域Rの任意の元との積、これらの和と差からなるイデアルです。必ずしも（m）+(a)とはなりません。）
(m,a)=(c)となるということは、当然、mだけで作られるイデアル（m）⊂（c）となります。ということは、mの和と差と、整域Rの任意の元との積の集合は、必ず、cの和と差と、整域Rの任意の元との積の集合に含まれていることになります。
従って、必ず整域Rの何らかの元c’を用いて、m=cc’と表せるということが直感的にもわかると思います。
さて、mは既約元ですので、必ず、単元と、mと同伴な元の積になっています。
m=cc’ですので、cはmと同伴であるか、あるいは単元です。
同じく、(m,b)=(d)となる元dが存在し、元d’が存在してm=dd’と表せます。
さて、イデアルどうしの積については別記していますが、
可換環RのイデアルI,Jについて考えます。
I+Jと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの和の集合ということにしましょう。
IJと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの積の「有限和」の集合ということにしましょう。
整域Rの単項イデアル(x)と(y)について、
(x)と(y)の積(x)(y)は、xiとyjを（x）および（y）の任意の元として、
{Σxiyj}
すなわち、あらゆる組み合わせのxiyjの有限和（総和といってもいいです）と定義しました。
上記の通り、(c)(d)=(m,a)(m,b)です。これは、イデアルの積のルールから、（m,a）の任意の元と、（m,b）の任意の元のあらゆる組み合わせの有限和集合です。
ここで、（m,a）の任意の元には、m,a, m-a, 0, m*mやm*aも当然含まれています。(m,b)の任意の元には、m,b,m-b,0, m*mやm*bが当然含まれています。ということは、これらのあらゆる組み合わせの中には、m^2, ma, mbやabもあることになります。
さて、イデアル（m^2,ma,mb,ab）を考えます。これは、明らかに(m,a)(m,b)を含んでいます。ゆえに、（m,a）（m,b）⊂（m^2,ma,mb,ab）となり、
さらに明らかに、（m^2,ma,mb,ab）⊂（m,ab）であり（mとabさえあれば、イデアル（m^2,ma,mb,ab）の元はすべて網羅できることがわかると思います。）、
さらに、m|abであったから、
（m,ab）⊂（m）となります。
結局のところ、（c）（d）⊂（m）となります。
c,dはいずれも、mと同伴であるか、あるいは単元でした。
mは既約元ですので、0でも単元でもありません。
もし、c,dいずれも単元なのであれば、（c）（d）⊂（m）を満たすためには、mも単元でなければなりません。これでは、矛盾します。ちなみに、理由は下記の通りです。
ということで、c,dの両方が単元ということはなく、いずれかはmと同伴です。
ですので、例えばcが同伴なのであれば、同伴な元の生成する単項イデアルは等しいので、(m,a)=(c)=(m)となります。(m,a)=(m)となるのは、m|aのときだけです。
まとめると、cが同伴ならばm|aであって、dが同伴ならばm|bになります。
これは、mが素元であるという定義そのものです。
単元ではないMの生成するイデアル（M）は、整域Ｒの任意の元rを用いて、{riM}と表記できますが、明らかに、riMが単元となることはありません。
たとえば、rが単元でなければ、単元でないものどうしの積は、やはり単元にはなりません。仮に、Ｅを単元として、rM=Eとおけてしまうと、単元の性質として、あらゆる元の約元ですから、rMはあらゆる元の約元でなければなりません。ところが、たとえば、元rの約元であるためには、Mは乗法的単位元1でなければならず、しかし、1は可逆元1(1*1=1)をもつ単元なので矛盾します。
ということで、rが単元でなければいけないのですが、しかし、いずれにせよ、rM=Eとおいたときに、例えば、rMが元Mの約元であるためには、最低限、rが乗法的単位元1でなければなりません。
ということは、1*M=M=Eとなるのですが、Mは単元ではないので、結局、矛盾します。
一般に、（A,B）（C,D）⊂（AC,AD,BC,BD）となります。
整域Rの元k,l,m,nを用いて、(A,B)と（C,D）は集合{kA+lB}と{mC+nD}と表せます。
そのイデアルどうしの積は、あらゆるパターンの積の有限和ですから、やはり整域Ｒの元K,L,M,Nを用いて、KAC+LAD+MBC+NBDの形になります。
イデアル（AC,AD,BC,BD）が含んでいる集合は明らかに、各々の項に整域Ｒの元を係数にもつKAC+LAD+MBC+NBDの形で表せますから、
（A,B）（C,D）⊂（AC,AD,BC,BD）といえます。
単項イデアル整域でなければ、必ずしも既約元は素元ではないということの本質
単項イデアル整域において、いかなるイデアルも、単項イデアルになりますので、mとaから生成されるイデアル（m,a）は、何らかの元cを用いて、単項イデアル(c)と等しくなります。ところが、単項イデアル整域でなければ、必ずしも、(m,a)を（c）とはおけず、たとえば（c,d）などとおかなければならなくなります。
よって、上記の証明ができません。これはすなわち、必ずしも素元とならないということです。（ただし、他の証明方法もあるかもしれません。）
可換環における単元、すなわち、乗法的可逆元をもつ元、という条件は、ものすごく強烈な条件である。実は、可換環における単元は、あらゆる元において、かならず約元になっている。
ここも、超混乱ポイントかと思います。
実は、可換環Rの単元（乗法的可逆元をもつ元）Eは、すべての元の約元になっています。
可換環Ｒについては、乗法について必ずしも逆元をもつとは限らないため、単元は、ときに貴重な存在になります。たとえば整数集合の可換環ℤについては、単元は、±1のみです。
ただ、可換環の一種である可換体などは、そもそも零元以外について乗法的可逆元を必ず有すること、という条件を定めていますので、単元の存在価値はほとんどありません（というより、全て単元です）。例えば、実数の集合は可換体であって、もちろん可換環の一種でもあるわけですが、実数集合による可換体の元-2は、可逆元-0.5との積が1になるので単元です。しかし、整数集合の可換環ℤとしてみれば、元-2は、-0.5がℤの元ではないことから、可逆元をもたないので、単元ではありません。つまり、同じ値の元でも、所属する代数的構造（環とか整域とか体とか）によって、単元であるかどうかが変わってくるわけです）。
実験してみましょう。
可換環Ｒのあらゆる元xについて、
x=yEとなる、特定の元y（1つとは限らない）が、
必ず存在していれば、可換環Rの単元（乗法的可逆元をもつ元）Eは、すべての元の約元になっている、ということになります。つまり、yっぽい値があるのだろうな、という予測はたちますが、それが、本当に可換環Ｒの元であるかどうかは、検証しなければわかりません。
元xが0のときは、y=0とすれば確かにyはＲの元です。
y≠0として、「任意の0以外の元xについて、x/y=Eとなる元yが必ず存在する」ことを示せばよいわけです。
Eは、乗法的可逆元を、かならずその可換環の中にもっていますから、
必ず、EF=1となるような元Fが存在します。E=1/F=x/yですから、
整理して、F=y/xとなります。さらにy=Fxとなります。
ということで、任意の元xについて、単元Eについて必ずEF=1となる元Fが存在するわけですから、2つの元の積であるyは、やはり可換環の元になっています。
以上です。
↓
↓
↓
ここで、一瞬思考回路がストップする人もおられるかもしれません。
「そういえば、2つの積がやはり元になっているかどうか、
すなわち、乗法について「閉じている」という定義が、
可換環にはあったか？」という疑問です。
マグマ（亜群）を考える
マグマ（亜群）の定義は、「集合と、特定の二項演算を定義し、その二項演算が閉じている」というシンプルかつ重要なものです。
マグマのクラスとして、準群（空でないマグマで常に除法可能）、
擬群（単位元をもつ準群）、
半群（結合的に演算が可能な亜群）、
単位的半群（モノイドとも。単位元をもつ半群。）
群（逆元（この時点では、二項演算の逆元としか定義しておらず、加法と乗法の区別はありません）をもつモノイド。）
アーベル群（乗法可換群、または単に可換群とも。演算が可換である群）
などに分けられたわけですが、
いろいろと調査してみると、
二項演算を定義する時点で、多くの場合、その演算が閉じていることを前提とする（もちろん例外もある）ようです。
ということで、可換環Ｒといえば、その時点で、加法と乗法という二項演算の話が出ていて、何も言わなければ、当然その演算について閉じている、と解釈できるようです。
ただし、いろいろな流派がありますので、演算について閉じていることを明言しなければならないケースもあるかもしれません。
