最小のイデアル
可換環Rの有限個の元a1,a2,…an（もちろん、全て異なる元です。また、これらはRの元を網羅しているとは限りません。）
に対して、a1,a2,…anを含むイデアルを考えましょう。
「含む」わけですから、a1,a2,…anおよびan+1
を含むイデアルも、「a1,a2,…anを含むイデアル」の一部です。
イデアルの定義を思い出せば、イデアルの任意の元の和は、やはりイデアルの元になっていること、イデアルの任意の元に可換環Rのどの元を掛けても、その積がイデアルの元になっていることです。
また、イデアルが可換環Ｒの部分集合であることから、イデアルの任意の元の差も、やはりイデアルの元になっています。
さて、「a1,a2,…anを含むイデアル」の他の元を考えます。
a1+a2や、a5+an、a2-a4など、これらの任意の２つの元の和と差はイデアルの元です。さらに、a1+a2がイデアルの元なのだから、a1+a2と、a5+anの和と差もやはりイデアルの元です。
ということは、a1~anを使ったあらゆる和と差のパターンがイデアルの元になっています。
さらに、可換環Ｒの任意の元r（r1,r2,…rk）について、rとイデアルの元の積は、やはりイデアルの元だというのがイデアルの定義でした。kは、可換環Ｒが例えば整数であることを想像すればわかりますが、無限大といっても良いでしょう。
ゆえに、r1a1や、r2a1や、r14a1、r5a9など、いずれもイデアルの元になっています。
ということは、a1~anのいずれかにr1~rkのいずれかを何回かかけたものもイデアルの元で、そういったものの和と差のあらゆるパターンがイデアルの元になっています。
「a1,a2,…anを含むイデアル」とは、少なくとも上記の元を含むイデアルであって、示したものは、最小のイデアルです。
なぜなら、「a1,a2,…an,an+1を含むイデアル」は、もちろん「a1,a2,…anを含むイデアル」でもあるし、他にも様々な元をもつわけですが、自明なことに、上記の最小のイデアルよりも元の数は多いわけです。
こういった考え方を最小のイデアル（a1,a2,…,an）と表すことにしましょう。
イデアルがもつ元は、例えば、(a1r1+a1r5)*r20+(a4r2+a8r3)*r3*r2*r50などの一見複雑な何でもありの形に見えますが、実は、ルール上、例えば、a1*a2がイデアルの元かどうかはわかりません。なぜなら、元どうしの和と差や、あるいはr1~rkと元との積はイデアルですし、それらどうしの和と差はやはりイデアルなのですが、a1*a4とか、a5*a10だとかがイデアルの元である必要性はありません。
ただ、結果的に、r5a1=a2a3などと同じ値をとる可能性はあります。
とはいえ、たまたま同じ値をとるかどうかに関わらず、イデアルの元は、r1~rkどうしの和と差と積で作られる値の集合≔R和差積のいずれかの元をf(r)とおけば、
a1*f(r)+a2*f(r)+…an*f(r)の形で必ず表されることがわかると思います。（それぞれの係数f(r)は0とか、同じものとか、異なるもののこともあります）
上の例：(a1r1+a1r5)*r20+(a4r2+a8r3)*r3*r2*r50も、結局はこの形になっています。ということで、
可換環Ｒの有限個の元a1,a2,…anに対して、これらを含む最小のイデアルは（a1,a2,…an）と表すこととし、その元は、必ず、
a1*f(r)+a2*f(r)+…an*f(r) | 「f(r)は可換環Rのいずれか（1つ～無限個）の元の和と差と積によって作られる値で、各々の係数は違う値をとりうる」
という形で示せることがわかります。
