公倍数
整数mが整数a,bについてa|mかつb|mであれば、
mをa,bの公倍数とよびましょう。
整数aの倍数の集合を（a）と書けば（カッコはややこしくなりますが、ここではカッコで閉じることにします。）
a,bの公倍数の集合は(a)∩(b)となります。
最小公倍数
正の公倍数のうち最小のものをaとbの最小公倍数と呼びましょう。
lcm(a,b)と表記することにしましょう。
最大公約数と最小公倍数の関係性
自然数a,bについて、g≔gcd(a,b)とl≔lcm(a,b)の関係を考えます。
gはaとbの最大公約数なので、
a=ga’
b=gb’となるような互いに素な自然数a’,b’がただ一組存在します。
（もしa’,b’が互いに素でなければ、すなわち1以外の何らかの公約数cをもつということですので、aは公約数gcをもつことになり、gが最大公約数ではなくなってしまいます。）
ここで、最小公倍数l=ga’b’となります。
最小公倍数l=ga’b’となる証明
この証明をしてみましょう。
確かに、l=ab’、l=ba’と、aとbの公倍数になっていることは容易に確認できると思います。背理法で攻めてみます。
仮に、l=ga’b’が最小でない公倍数だとすれば、さらに小さい公倍数が存在することになります。公倍数は、必ず最小公倍数の倍数ですから、当然、l=ga’b’が、何らかの2以上の自然数cで割り切れて、lより小さい公倍数l/cが存在しているはずです。
l/c=ga’b’/cが、a=ga’およびb=gb’の公倍数でなければなりません。
整理して、ga’b’/cがga’とgb’の公倍数であることは、ともにgで割って、
「a’b’/cがa’の倍数であり、かつ、a’b’/cがb’の倍数であること」であり、
「b’/cが自然数であり、かつ、a’/cが自然数であること」です。
ところが、a’とb’は互いに素なので、ともに2以上の自然数cで割った商が自然数となる（すなわち、割り切れる共通の2以上の自然数が存在する）ことはないので、矛盾します。ゆえに、仮定が間違っていたことになります。
最大公約数と最小公倍数の関係性まとめ
最小公倍数l=ga’b’から、
ということで、gl=gga’b’=ga’gb’=abとなる。
