有理数体における方程式の整数解

有理数体における方程式の整数解

有理数体ℚにおいて、

整係数の一元n次の不定方程式（整数解を求める方程式）について、

kiを整数、Xをℚの元（ゆえに、必ずしも整数ではない）として、

kn*X^n+…+k2*X^2+k1*X^1+k0=0の整数解Aを考えます。

そのようなAが存在するかどうかはわかりません（無いかもしれない）が、

あったとして、

kn*A^n+…+k2*A^2+k1*A^1+k0=0

変形すると、Aでくくって、A(kn*A^(n-1)+…+k2*A^1+k1)=-k0

従って、マーカー部をBとすれば、kiもAも整数なのでBは整数であり、

-AB=k0となります。

ゆえに、Aは必ず、k0の約数でなければなりません。

さて、具体的に、3X+1=0については、k0の約数±1は等式を満たさないので、もちろん整数解は存在しません。

ゆえに、Aは必ず、k0の約数でなければなりませんが、k0の約数だからといって、整数解となるわけではありません。

このことを利用すれば、一元n次不定方程式について、整数解の有無とその値を楽に求めることができます。

有理数体における整係数一元代数（不定ではありません）方程式の有理解（有理数の解ということです。なお、有理数は当然、整数も含みます）

上記と同じく、kおよびnを整数として、整係数の一元n次不定方程式

knX^n+…+k2X^2+k1X+k0=0

について、有理解Qを求める場合は、一元n次代数方程式と名称が変わり（整数解を求める場合、必ずしも解が存在しないので、「不定」方程式といいます。ただ、極端に言えば、X^2=-1については、実数解が存在しないので、これも不定方程式といっても良さそうです。複素数解を認めるならば、あらゆる方程式は、シンプルに代数方程式と呼べそうです）、

有理解Ｑ（互いに素な整数を用いてr/sとおける）が存在するとして、

knQ^n+…+k2Q^2+k1Q+k0=0

 

両辺にs^nをかけて、

k_n*r^n+k_n-1*r^(n-1)*s+…+k2*r^2*s^(n-2)+k1*r*s^(n-1)+k0*s^n=0となります。

kn*r^n=-s{(kn-1)*r^(n-1)+…+k2*r^2*s^(n-3)+k1*r*s^(n-2)+k0*s^(n-1)}

と変形できます。右辺はsの倍数なので、左辺kn*r^nもsの倍数です。

rとsは互いに素なので、knはsの倍数です。

さて、k_n*r^n+k_n-1*r^(n-1)*s+…+k2*r^2*s^(n-2)+k1*r*s^(n-1)=-k0*s^nとも変形出来て、

左辺は全てrの倍数です。ゆえに右辺もrの倍数です。

rとsは互いに素なので、k0がrの倍数です。