極大イデアル
可換環ＲのイデアルIを含むイデアルがI自身かR全体しかないのであれば、極大イデアルとよぶことにしましょう。
素イデアル
イデアルIがあらゆるイデアルの組J,K（必ずしも単項イデアルではありません）について、
「JK⊂Iならば、かならずJ⊂IあるいはK⊂I」を満たすとき、イデアルIを素イデアルとよびましょう。
イデアルの積とは、それぞれに含まれる元のあらゆる組み合わせの積の有限和の集合でした。
素元と素イデアル
可換環Ｒにおいて、pが素元であれば、
「p|abなら必ずp|aまたはp|b」であって、
(p)が任意のイデアルJ,Kについて、
「JK⊂（p）ならば、かならずJ⊂(p)あるいはK⊂(p)」を満たすことと全く同一です。
すなわち、JK⊂(p)という条件は、Jの任意の元aとKの任意の元bについて、
p|abであることと全く同一です。これは、pの和と差とRの任意の元rとの積による集合が、イデアルの積JKすなわち、Jの任意の元aとKの任意の元bとのあらゆる組み合わせの積の、有限和の集合を、完全に網羅していることからも、わかります。
どうやっても、pがabの約元ですから、pに何らかの元を掛ければabになりますし、さらに何らかの元をかければ、必ずJKの元になります。
この証明には、単項イデアルを使う必要がありませんので、これは明らかに可換環において成り立つことがわかります。
ゆえに、pが素元であることと、（p）が素イデアルであることは、可換環において、同じ意味を指します。
