加法定理を忘れるという話
三角関数には様々な定理があって、覚えきれない方も多いと思います。
別記の通り、
A,B,Cに向かい合っている辺の長さをそれぞれa,b,cとしました。
別記事の通り、\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)でした。
これは、垂線を下ろして、2つの直角三角形に分割し、
ピタゴラスの定理を使う方法でした。
さて、これを単位円の上に乗せてみます（長さはかわるので、正確には、サイズを変えて乗せているのですが）。
A(0,0)として、B(cosΘ,sinΘ )、C(cosφ, sinφ)とできます。
さて、\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)
を、これらの座標から計算すると、ピタゴラスの定理などから、
\((cosΘ-cosφ)^2+(sinΘ-sinφ)^2
=(cos^2φ+sin^2φ)+(cos^2Θ+sin^2Θ)-2bc\cosA\)
となります。真面目に書けばこうなります。
しかし、単位円であることなどから、結局b=c=1なので、
\(-2cosΘcosφ-2sinΘsinφ=-2bc\cosA=-2*1*1*cosA\)
となります。
そして、cosAをよくみると、A=φ-Θになっていることにお気づきかと思います。
結局、\(\cos(φ-Θ)=\cosφ\cosΘ+\sinφ\sinΘ\)となります。
これが単位円の威力です。
ちなみに、これは、明らかに、あらゆる角度φとΘについて成り立ちます。どの点をとっても、（重ならないかぎり）三角形ができることは確かめればすぐにわかります。
ということで、Θに-Θを代入してみても、問題ないことになります。
\(\cos(φ-(-Θ))=\cosφ\cos(-Θ)+\sinφ\sin(-Θ)\)
ですから、ここで、cos(-Θ)=cosΘおよびsin(-Θ)=-sinΘから、
\(\cos(φ+Θ))=\cosφ\cosΘ-\sinφ\sinΘ\)が得られます。
ちなみに、角度のマイナス？と思われるかもしれませんが、
角度のマイナス版を、時計回り方向だと定義して良いことにしましょう。
こういうイメージです。
なお、sinについての証明ですが、下記のように考えると
どつぼにはまります。
\(\cos^2(φ-Θ)=\cos^2φ\cos^2Θ-\sin^2φ\sin^2Θ-2\cosφ\cosΘ\sinφ\sinΘ\)
ですから、
\(1-\sin^2(φ-Θ)=\cos^2φ\cos^2Θ-\sin^2φ\sin^2Θ-2\cosφ\cosΘ\sinφ\sinΘ\)
となって…などと考えると非常にややこしいことになります。
ここで威力を発揮する考え方が、
cosΘ=sin(Θ+90度)かつ、sinΘ=-cos(Θ+90度)
です。これは単位円を想像すれば、気づくはずです。
直角三角形が寝ころんだ形になります。
\(\cos(φ-Θ)=\cosφ\cosΘ+\sinφ\sinΘ\)
のΘをΘ+90度におきかえると、
\(\cos(φ-(Θ+90度))=\cosφ\cos(Θ+90度)-\sinφ\sin(Θ+90度)=-\cosφ\sinΘ-\sinφ\cosΘ\)であり、
\(\cos((φ-Θ)+90度)=-\sin(φ-Θ)=-\cosφ\sinΘ-\sinφ\cosΘ\)となり、
まとめると、\(\sin(φ-Θ)=\sinφ\cosΘ+\cosφ\sinΘ\)となります。
このΘに-Θを入れても問題ありませんので同じく、
\(\sin(φ+Θ)=\sinφ\cosΘ-\cosφ\sinΘ\)が導かれます。
