三角数
三角数を次のように定義しましょう。
Δn≔1+2+…n={n(n+1)}/2
この式が成り立つことは、n=5などで実験すれば直感的にわかります。
平方数
A≔1+3+5+…+(2n-1)を三角数を用いて計算してみましょう。
A=(1+2+…+2n)-(2+4+…+2n)となっているのにお気づきでしょうか。
=Δ2n-2Δnとなることもおわかりでしょうか。
計算すると、A={2n(2n+1)}/2-n(n+1)=n2となります。
すなわち、奇数の和は、同じ数を2回かける形で表現できることがわかりました。
「平方数」
同じ数を2回かけた数を平方数とよぶことにしましょう。
数列
1,2,3,4…だとか、1,3,5,7…だとか、1,11,21,31,41…だとかいった、数字の列を考えます。
「数列」
数字が一定の規則に沿って並んだ列を、数列とよぶことにしましょう。
数列には順番を考え、それぞれの数を「項」とよびましょう。
最初の項を初項、n番目の項を第n項とよぶことにしましょう。
等差数列
任意の正の整数nについて、第n+1項と第n項の差がすべて等しい場合、その差を公差とよび、そのような数列を等差数列とよぶことにしましょう。
等差数列の和
等差数列の和を求めてみましょう。
第n項をAnと記載しましょう。初項はa、公差はd、第n項はa+(n-1)dとなりますと、
和B≔A1+…An=1/2*{(A1+An)+(A2+An-1)+…(An+A1)}=1/2*{(2a+(n-1)d)+(2a+(n-1)d)+…(2a+(n-1)d)}となっているのがおわかりでしょうか。つまり、逆から足していったことになります。
これは、1+2+…10を、2倍して、(1+10)+(2+9)+…+(5+6)+…(10+1)=11+11+…+11=110と求めて半分の55を答えとするようなものです。
計算すると、等差数列Anの和B={n(2a+(n-1)d}/2となります。
