素数 | math2.work

我々のよく知る整数は、厳密には有理整数といいます。本ＨＰでは、単に整数と略してよいこととします。

代数的整数というのは、「整った数ではあるが有理整数ではない」と解釈して頂ければと思います。

2以上の有理整数pについて、「p | abであれば必ずp|aまたはp|bである」場合、pを素数とよぶことにしましょう。

(1+√-5)*(1-√-5)=6ですが（虚数は、2乗して-1になる数のことです。そのような整数、有理数、実数はもちろん存在しませんが、存在するものとして定義してしまえば良いのです。）、

6=2*3となっています。ということは、代数的整数の世界では、6は2*3以外にも分解できてしまうのです。

有理整数においては、イデアル(2,3)=(2)+(3)などは、(6)として、単項イデアルになっていましたが、代数的整数においては、イデアル(2, 1+√-5)は、単項イデアルにはならないわけです。

ところが、虚数を含む代数的整数においても、加法群、乗法においては結合律、単位元、分配法則が成立しますので、これは、「可換環」にはなっています。

あらゆる整数は、±1と素数の積に分解され、必ず一通りに定まります（もちろん有理整数の話です）。

このような分解を素因数分解とよびましょう。

実は、別記した、2元a,bの積が、a,bの最大公約数と最小公倍数の積になるというのも、素因数分解を用いて証明することができます。