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線型写像とは何か

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線型代数学においては、任意の線形写像は、直線を直線に移すものである。

写像は、アルファベットのfで表されることが多い。

写像には、線型でないものもあるから、写像fが線型であるための条件は2つ。

その1:加法性を保っている→任意のx,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)。

むしろ、そうならないことがあるのか?と疑問に思われるかもしれない。そうならないケースというのは、f(x)=x+1である。この場合、

f(x+y)=x+y+1

f(x)+f(y)=x+1+y+1となり、

f(x+y)≠f(x)+f(y)である。

このような一次関数の場合、そのグラフが原点を通らなければ線型性をもたない。

その2:斉次性を保っている→任意のx,kに対してf(kx)=kf(x)。

やはり、f(x)=x+1では、

f(kx)=kx+1

kf(x)=k(x+1)=kx+kとなり、

f(kx)≠kf(x)である。

この「1」は、100でも0.5でも等式が成り立たないわけだから、一次関数の場合はグラフが原点を通らなければ線型性が満たされないことがわかる。

 

線形写像は、ベクトルにおいて(ベクトル以外の量、例えば実数や複素数についても、当然線形写像の考え方は適用されるが)の加法とスカラー乗法を保っているとも言われる。

f(x)とベクトルと何の関係があるのか?という疑問もあるかと思う。

別記したように、ベクトルとは、ベクトル空間(これも別記)の元であり、それ自体がもともと線型性をもつものである。(直感的には、大きさと向きをもった空間ベクトルのほうがなじみがあるが、広い意味での)ベクトルとは、ベクトル空間の中で、線型性をもって、和とスカラー倍をとることができる量であれば何でもよい。

そして、このxとかyとかkとかの「量」(この量というのは数学的な用語であるが)は、実数でもよいし、複素数でもよいし、ベクトルでもよい。

ベクトルについて論じるのであれば、「線形写像は、ベクトルの加法性とスカラー倍を満たす」という話になるし、実数や複素数について論じるのであれば、「線形写像は、実数や複素数の加法性とスカラー倍を満たす」という話になる。

そして、f(なんとか)のfが、写像なのである。

線形写像とは、ベクトル空間の構造を保つ準同型のことである、とも言われる。ちなみに、準同型というのは、数学的構造が類似していることを指し、完全に同一であれば、同型という言葉を使う。つまり、ベクトル空間の元であるベクトル(加法性とスカラー倍を満たさなければベクトルとしてみなされない)は、最初から、「加法性」と「斉次性」をもった「量」であるし、線形写像によって、やはり「加法性」と「斉次性」を保った「量」に変換される(それが線形写像のルール)わけであるから、変換後も、「ベクトル」としての条件を満たし、ベクトルとしてみなされるということである。

だから、非線形写像にベクトルを投入すると、ベクトル以外のものになるかもしれない。この場合、ベクトル空間の構造を壊す(ベクトル空間に、ベクトル以外の元が存在してはならない)ことになるわけだ。