自然数

自然数

ところが、必ずしも、０、１，２，３，４，５という書き方をするわけではありません。

10進法

2進法

さて、ここで、

たとえば、10進法の「5」を相手に伝えたいが、キーボードの2から9が壊れてしまい、０と１しか使えない状態になったとします。

どうすれば「5」を伝えられるかどうか考えてみてください。

0とか、1以外には、000とか、111とか、010とかいった表現が思いついたでしょうか。

別に、ルールは、適当に決めても良いわけです。

「00000」を、0が5つ並んでいるから「5」ということにしてしまっても、良いわけです。

ところが、もし「1億」を伝えたい場合、0を1億回並べなければなりません。

さて、0と1を使った数字を、10進法の考え方で、小さい順に並べてみると、

0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001…となることにお気づきかと思います。

そして、この順序を、10進法にあてはめれば、

10進法の「5」は、0と1しか数字が使えなくても、「100」と伝えられるわけです。

この方法を二進法といいます。パソコンの計算には、この二進法が用いられています。パソコン内には無数の電気スイッチがあるのですが、電気のOFFを0、ONを1として考えれば、電気がついているかついていないかで、たくさんの数字を表現できるので、簡単なわけです。

普段目にする、バーコードやQRコードも、黒と白だけで、複雑な情報を表現できるわけです。もし、あらゆる色を使わないといけないのであれば、カラー印刷代がかさんでしかたがありません。

3進法

同じ考え方で、3進法も定義できます。0と1と2しか使えないのであれば、

和と加算

男1人と男1人で、あわせると男2人です。

男の数だけでいえば、1+1=2ということになります。

この、あわせる、という作業を、「和」とよぶことにします。

差と減算

男2人いて、男1人が帰ったら、残るのは男1人です。

数だけで書けば、2-1=1となります。

この、A≧Bとする、の意味は、AはＢより大きい（>）か、もしくはAはＢと等しい（=）です。簡単に言えば、ＡはＢ以上である、ということです。

しかし、なぜこの取り決めが必要なのか考えてみましょう。

例えば、「あなたの収入と支出の差は何万円ですか？」と聞いて、「5万円です」と答えられたら、どのように判断すれば良いでしょうか。

黒字なのか赤字なのか、実はこれだけでは判断できません。

4月の収入が20万円あって、4月の支出が25万円であった場合、20万円から25万円を取り除くと、マイナス5万円になってしまいます。

しかし、この「取り除く」というのは、ある数から、その一部を取り除くわけですから、当然、0以上の何かが残るはずです。よって、ただしくは、

収入30万円、支出25万円の場合は、「収入と支出の差は5万円」という表現になり、

収入20万円、支出25万円の場合は、「支出と収入の差は5万円」という表現になります。

ところが、これだと、減算が毎回どちらか大きいかを考えなくてはならず、正直、めんどくさいことになります。

ですので、差の考え方を拡張しておきましょう。

こうしておけば、AとＢの大きさを考えずに、A-Bという減算を書くことができます。

加算の可換律と結合律

加算の順番を入れ替えても良いかという問題です。

みかん5個と、りんご5個があります。果物はあわせて10個です。

りんご5個と、みかん5個があります。果物はあわせて10個です。

入れ替えて「良い」かどうかは、和が等しいかどうかで決めます。

当然、加算については、和が等しいので、順番を入れ替えても良いです。

順番の入れ替えのことを、「換」（こうかんする、という意味です）と書いて、入れ替えＯＫであることを、「可換」と書きます。

また、可換である法則のことを、可換「律」と書くことにします。律というのは、大宝律令などで習ったように、法則とか、ルールという意味で、数学の世界ではよくつかわれます。

さて、加算は、２つの数について行うものですが、３つの数の和を知りたいときは、どうすれば良いのでしょうか。

みかん3個、りんご4個、バナナ5個あるとき、果物の数はあわせて12個あるわけですが、今、頭の中で、どういう計算を行ったでしょうか。

正確には、

みかん3個とりんご4個、果物の数はあわせて7個、バナナ5個とさらにあわせて12個ある、という計算を行っているはずです。

ところが、というか、もちろんのこと、

りんご4個とバナナ5個、果物の数はあわせて9個、みかん3個とさらにあわせて12個ある、という計算でも同じ和が得られます。

このように、計算する順番が違っても和が等しい場合、加算の結合律が成り立つ、と表現することにします。結合というのは、3個のうち、どの2個を結合させて、和をもとめるか、という意味です。

思い出して下さい。和は、2つの数をあわせるときの表現です。

3つの数を同時にあわせることは、不可能です。

減算の可換律と結合律

さて、加算について可換律と結合律が成り立つことについて、あたりまえではないか、という感覚があったかもしれません。

ところが、減算については、どうでしょうか。

積と乗算

商と除算

乗算の可換律と結合律と分配律

これは、例えば、4*(1+2)=4*3=12であり、4*1+4*2=4+8=12であるように、試しに計算すれば、明らかに分配律が成り立つことが理解できます。

しかし、実は、乗算の可換律が成り立つのは、Ａ，Ｂ，Ｃが自然数（普通の数）という「数学的対象」だからであって、たとえば、Ａ，Ｂ，Ｃが「行列」という「数学的対象」であれば、実は、Ａ*Ｂ≠Ｂ*Ａとなります。

このことは、別記しますが、数学の世界では、乗算の可換律が成立することは、あたりまえのことではありません。ですので、しっかりと確認しておきましょう。

倍数と約数と剰余と余り