順序集合（ℕ, 定義）という表記方法
順序集合は、もちろん順序が定義できる集合です。
たとえば、自然数集合が小さいものから順に｛0,1,2,3,4,…｝と並んでいるものは、順序集合として自然に理解できますが、しっかりと定義すれば、順序集合（ℕ、≧）と書けることにしましょう。
たとえば、順序集合（ℕ、≦）と定義してしまえば、0≧1といえてしまうことにしましょう。
順序集合(ℕ,|)を考える
|はIでもlでもありません。パソコンではフォントが似通っていてこまりますが、これは、約数の|です。余り0で割り算できる、の|ということにしましょう。
さて、順序集合（ℕ、|）の順序がどうなっているかを考えてみます。
自然数は途方もない数字になるので、その部分集合Ａ
A={1,2,3,4,5,6,7,8}についての順序を考えます。
約数と順序をどう結び付けるかですが、少し定義を工夫しましょう。
部分集合Ａの元n,mについて、m=nkとなるkが部分集合Ａの元である場合は、例えば、元n=4については、k=1,m=4と、k=2,m=8の組があります。この場合、mの組み合わせは4と8になります。
極大元
この場合、通常の意味で「大きい」mを、「極大元」とよびましょう。
極大元は、すべてのnについて定義できることにしましょう。
つまり、n=1に対して、m=1,2,…,8となるので、やはりm=8が極大元です。
n=2に対してもm=8です。
n=3に対しては、m=3,6となるので、m=6が極大元です。
n=4のときはm=8、n=5のときはm=5,
n=6のときはm=6、n=7のときはm=7、
n=8のときはm=8が極大元です。
結局、極大元は、5,6,7,8ということになります。
極小元
極小元も定義しましょう。
極大元のときとは逆に、m=1のときのnを考えてみます。
m=1のとき、m=nkだから、n=1しかありません。よって、n=1を極小元とします。
m=2のときは、n=1,2なのでやはりn=1が極小元です。
m=3のときは、n=1,2,3
結局、すべてのmについて、n=1しか極小元になりませんので、極小元は1のみです。（ちなみに、mかnかは気にしないことにしましょう。極小元はn=1というよりも、単に、1という元です。）
順序集合（ℕ, |）の部分集合Aにおける最大元
さて、Aの元M(Maxからとっています)が、すべての元aに対してa | Mを満たせば、そのMを最大元とよびましょう。
ところが、明らかに、どの元も、すべての元を約数としてもちません。ということで、せっかく定義しましたが、この場合最大元は存在しません。
順序集合（ℕ、|）の部分集合Aが{1,2}であれば、2は1も2も約数としてもったので、最大元は2です。{3,6,12}であれば、最大元は12です。
順序集合（ℕ, |）の部分集合Aにおける最小元
最小元も定義しましょう。Aの元m(miniからとっています)が、すべての元aに対してm | aを満たせば、そのmを最小元とよびましょう。
これは明らかに、1が最小元です。例えば、部分集合{2,5,10}とかであれば、最小元はもちろん存在しません。
Aに対する順序集合（ℕ、|）の上限
Ａは順序集合（ℕ、｜）の部分集合です。
ここで、Ａのすべての元を約数にもつAの元を最大元としましたが、無い場合もありました。では、そのようなℕの元を、Ａに対する順序集合（ℕ、｜）の上限、と定義してみましょう。
そうすると、結局この上限は、最小公倍数になります。
1=1, 2=2, 3=3, 4=2*2, 5=5, 6=2*3, 7=7, 8=2*2*2ですから（素因数分解しています。素因数分解については別記）
、結局、1*2*3*2*5*7*2=840が上限となります。840はもちろんＡの元ではないですが、ℕの元です。
Aに対する順序集合（ℕ、|）の下限
上限と同じく、Aの元でなくても、ℕの元であれば良いということで、下限を定義してみましょう。
結果、下限は1ということになります。
自然数の集合ℕについての上限と下限の性質
順序集合（ℕ、｜）において、部分集合Ａ＝｛a,b｝の上限は、
当然、aとbの最小公倍数になります。
もちろん、下限は、最大公約数になります。
可換環Ｒのイデアル全体の集合を考える
可換環Ｒのイデアル全体の集合をイ全(R)とでも表してみましょう。
イデアル全体の集合という言葉がわかりにくいかもしれませんが、
簡単に、整数集合においては、
イデアル2倍「２の倍数の集合（実際に、どの元の和と差もイデアルの元で、どのイデアルの元ともとの整数集合ℤの元の積も、やはりイデアルの元になっています。）」
イデアル3倍「3の倍数の集合」
イデアル4倍「４の倍数の集合」
などがたくさん存在します。
ここで、順序集合（イ全(R)、⊆）を考えます。
A⊆Bとは、AとＢが等しいか、あるいはAがＢに含まれる、という意味です。
ただ、明らかに、ℤの元３は、イデアル2倍には含まれません。また、明らかにイデアル2倍は、イデアル4倍に完全に含まれます。
順序集合（イ全(R)、⊆）と書くと、ややこしく見えますが、
例えば、イデアルI,Jを考えて、
IとJの上限は、ここでの順序は、「含むこと」ですから、あらゆるイデアルを含むイデアルこそ、最強（最大）になります。
ということで、IとJの上限は、ここでは、I + Jになります。
なお、イデアルどうしの足し算の意味は、下記の通り（別記事）
イデアルどうしの和と差と積を定義する
可換環RのイデアルI,Jについて考えます。
I+Jと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの和の集合ということにしましょう。
IJと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの積の「有限和」の集合ということにしましょう。
とあるように、Iの任意の元aとJの任意の元bの和の集合となります。
例えば、2の倍数集合のイデアルと3の倍数集合のイデアルの、上限とは、
あらゆる2の倍数と、あらゆる3の倍数の和(もちろん0含む)の集合となっています。
正の整数で考えれば、確かに、2,3,4,5,6,7,8,9,…となり、2の倍数集合のイデアルと3の倍数集合のイデアルを完全に含んでいます。（というより、この場合は、ℤそのものになっています。）
では、ＩとＪの下限はどうなるでしょうか。
下限とは、イデアルIとＪがともに含むギリギリ大きな集合です。
結局、記号としてはI∩Jということになります。
