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単項イデアル

数学
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特定の元から生成されるイデアルの性質

最小のイデアルどうしの和

元aを含む最小のイデアルを(a)と示し、

元a,bを含む最小のイデアルを(a,b)と示すことにしましょう。

イデアルI、Jどうしの和と積が定義できることは先述の通りです。

(a)+(b)は、実は、(a,b)と一致します。

直感的に言えば、aを用いて和と差、そしてaとRの元rとの積、その積どうしの和と差の集合が(a)であって、同様の(b)との、

2つの任意元どうしの和の集合が(a)+(b)であって、

a,bを用いて和と差、そしてaとrとの積、bとrとの積、積どうしの和と差の集合が(a,b)となります。

結局のところ、af(r)+bf(r) | 「f(r)はrのあらゆる和と差と積のパターンの集合のうちの、任意の元で、aとbの係数が異なるものでも良い。」

の形でどちらも表せます。

ゆえに、(a)+(b)=(a,b)です。

最小のイデアルどうしの積

さて(a)(b)はどうでしょう。イデアルどうしの積のルールから、

af(r)*bf(r)のあらゆる組み合わせの元の集合となっていることがわかります。

ここで、(ab)を考えます。

abの和と差、abf(r)やさらにその和と差になりますが、

結局のところ、ab*f(r)のあらゆるパターンの集合となっています。

さて、(a)(b)も結局は、ab*f(r)*f(r)と書いてみましたが、前のf(r)と後のf(r)は違うものでも良く、しかも、f(r)*f(r)も結局はrの和と差と積のあらゆるパターンの集合なので、f(r)と表せます。

ということで、実は(a)(b)=(ab)となっています。

単項イデアル

可換環Rの任意の元a(0以外)を考えます。

当然、aを含む最小のイデアル、(a)は、

aによる和と差および、f(r)との積さらにそれらどうしの和と差を元に含みます。

それは、aによる和と差というのは、aの整数倍数ということであり、aの倍数と何らかのf(r)との積に、さらにaの倍数と何らかのf(r)との積を足したり引いたりしたところで、

結局は、aの倍数とf(r)との積になります。

さて、この場合、f(r)は、元rどうしの和と差でしかないので、可換環Rの元になっています。ということで、aを含む最小のイデアル(a)は、必ず、aの倍数とrとの積になっています。

ここからが肝心なのですが、実は可換環Rが多変数多項式環などであれば、aの係数とのrとの積が、必ずしも可換環Rの元になっているとは限りません(いずれ説明します)。

可換環Rが整数である場合は、

aの倍数において、aの係数とrとの積は、例えば、r+r+r+r+rが可換環Rの元になっている(整数であれば必ず)わけですから、

シンプルに、aを元にもつ最小のイデアル(a)は、{af(r)}だとか、もっとシンプルに、{ar | r∈R}だとか、書けることになります。

なお、{ar | r∈R}を、Raと示しても良いことにしましょう。

このような場合、可換環Rの任意の0ではない元aから生成される最小のイデアル

(a)=Ra={ar | r∈R}という等式が成り立ちます。

これを、aによって生成される単項イデアルと呼びましょう。

端的に言えば、イデアルが、特定の元a(単項)と、可換環Rの任意の元との積の集合そのものになっています。

単項イデアル環

可換環Rのうち、整数集合のように、あらゆるイデアルが単項イデアルになるときは、可換環Rを単項イデアル環とよぶことにしましょう。

単項イデアル整域

さて、可換環Rが零因子をもたないときは、整域Rとよぶことにしましょう。

整域Rのうち、あらゆるイデアルが単項イデアルになるときは、整域Rを単項イデアル整域とよぶことにしましょう。

整数が単項イデアル整域であるかどうか

0以外の整数集合ℤのイデアルIについて、I={0}のときは自明に単項イデアルとなります。

I≠{0}であれば、イデアルIの元には、必ず自然数が含まれています。

(たとえば、負の数のみを含むイデアルがあったとして、その数に、ℤの元-1をかけたら正の数になり、それはイデアルの元であるはずなので、矛盾しています。)

除法の原理により、任意の整数aについて、

a=bq+r, 0≦r<|b|となる整数q,rが一組だけ存在します。

ここで、aがIの任意の元だとして、bを、イデアルの最小の自然数の元だとおいても問題ありません。

bを含む最小のイデアルを(b)とすると、(b)⊂Iとなっています。

なぜなら、bどうしの和と差はやはり(b)の元であり、Iの元でもあります。

また、bとℤの元zとの積bzは、bがイデアルIの元であるから、同じく、bzはイデアルIの元でもあります。

ということで(b)の元はすべてIの元になっています。

ちなみに、もし、Iの任意の元aが、すべてbを含む最小のイデアル(b)の元になっているのであれば、まさに(b)はIそのものということになります。

イデアルの性質から、aq,ar,bq,brなどはすべてイデアルの元になっています。さらに、イデアルの元どうしの和と差もイデアルの元です。

特に、aとbがイデアルの元なので、bqおよびa-bqもイデアルの元です。

すなわち、上の式から、a-bq=rもイデアルの元です。

ところが、bは自然数であるから、0<r<|b|=bとなると、bが最小元であることに矛盾するので、結局、r=0でしかありません。

ということで、a=bqとなっています。

ということは、q∈ℤですから、aはbを含む最小のイデアル(b)の元になっています。上記の理屈から(b)はIそのものです。

ということで、整数において任意のイデアルIを考えたときに、それはすべて(b)と一致し、この形は単項イデアルであるから、

整数は単項イデアル整域である、ということになります。

単項イデアル整域のルールを思い出すと、整域Rについてのあらゆるパターンのイデアルが、0でない「特定の」元aを含む最小のイデアル(a)=Ra={ra | r∈R}と示されることでした。
注意:あらゆるイデアルが「特定の」元aを含む最小のイデアル(a)=Ra={ra | r∈R}という形で示される必要はありますが、整域Rの「任意の」元aについて、このような形で示される必要はありません。つまり、極端に言えば、あらゆるイデアルが、元「5」とか元「3」とかについての単項イデアルになっていても、それは単項イデアル整域になることになります。単項イデアルになってさえいれば良いのです。

ちなみに、整数が単項イデアル整域であることを示すのであれば、整数集合ℤの任意のイデアルIについて、それは実は、0でない特定の元aを含む最小のイデアル(a)=Ra={ra | r∈R}に必ずなることを示せばよいことになります。aとするからややこしいのであって、別にbでもcでも良いのです。