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二項演算

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「集合Aについて閉じている二項演算μ」(あるいは、集合A「上」の二項演算μ)とは、2変数の写像μについて、

μ:AXA→A;(x,y)↦μ(x,y)

を満たすものである。

記号を説明しておく。

μ:「二項演算μは(コロン(:)で、後に説明を続けようとしている)。」

AXA→A「「集合Aと集合Aの直積」から、「集合A」への写像であって

;「これは単なるセミコロン(;)で、前と後の記号を区切っている。」

(x,y)「具体的に説明すると、集合Aの元xと、集合Aの元yの順序対を、

↦μ(x,y)「x,yに対する写像μの演算ルールによってある「量」に写す(今回は、それがたまたま集合Aの元になる)。」

となる。

重要なことだが、閉じていない二項演算もある。つまり、演算の結果得られた量が、集合Aの元ではない場合もあるのだ。例えば、μ:AXB→C;(x,y)↦μ(x,y)だと、集合Aの元xと集合Bの元yを「この順番で」演算ルールμにあてはめると、得られた元は集合Cに所属している。ちなみに、AXBとは直積を指すので、xとyの順序対は、あらゆるすべての組み合わせを指している。従って、どのようなxとyの組み合わせ(この順番で)であっても、得られる結果は集合Cに属していることになる。もう少しマニアックに考えれば、集合Cは、集合AやBと全くことなる集合でも良い(完全に、閉じていない)し、ひょっとしたら、集合Aの部分集合かもしれない(部分的に、閉じていない)。
具体例と可換性の話

単純に、Aを整数の集合として、xを1、yを2としよう。

そして、写像μを、xとyを足しなさいという演算ルールとする。

1も2も整数の集合の元である。

1+2=3も整数の集合の元である。無事、閉じている。

 

Aを実数の集合として、xを1、yを2としよう。

そのとき、μをxをyで割りなさいという演算ルールとする。

無事、閉じているのだが、実は、

μ(x,y)=1/2≠μ(y,x)=2/1のように、xとyの順序によって違う値になっている

ことがわかるだろう。

このように、xとyの順序は大事であって、この場合、非可換性とよぶ。

足し算や掛け算は可換性があって、引き算や割り算は非可換性である。