代数的構造：群の特徴（位数、部分群、傍系（剰余類））

群には様々な概念と特徴が存在する。

位数

群Ｇ（集合Ｇ、二項演算μの組が群になっている場合、単純に群Ｇと省略できる）

の元が何個あるかを位数という。無限にある場合もよくある。

部分群

群Ｇ（集合Ｇ、二項演算μ）について、集合Ｇの部分集合Ｈを考える。集合Ｈ、二項演算μの組み合わせが、閉じていて（演算の結果も集合Ｈの元になっている）、かつ、

集合Ｈのどの元に対しても、その逆元が集合Ｈの元であるときは、部分集合ＨをＧの部分群という。

ちなみに、この集合Ｈは空集合（元を持たないからっぽの集合）でないものとする。

傍系（剰余類）

上記の部分群Ｈ（集合Ｈと二項演算μの組（H,μ））と

群Ｇ（集合Ｇと二項演算μの組（Ｇ，μ））を考える。

定義として、hをＨの元、gをＧの元とする。

gHを、Gの元gと、Hの「任意の元（あらゆる元と言い換えても良い）」とを二項演算μに適用して得られた「量」を元にもつ集合とする。例えば、Hの位数（元の数）が100個あれば、100個の「量」が得られるので、gHは、新たな位数100の「集合」である。

ちなみに、二項演算には順序があるので、gHがHgと一致しないケースもある。

ここで、Ｈの元についてはあらゆる元であるが、Ｇの元gは、何か一つを選ぶので、例えば、g1,g2,g3,g4などと数字をふってもいいし、アポストロフィをすけてgとg’などと区別しても良い。いずれにせよ、g1Hやg2H、g’Hなどは、

「新たな集合gH（表現によって別にg1Hでもg’Hでも良いが）は、集合Ｈを「法」とする、元gの属する集合Ｇの「左」傍系である」ということができる。

なお、「新たな集合Hgは、集合Ｈを法とする、元gの属する集合Ｇの「右」傍系である。」といえる。

この、左傍系と右傍系が完全に一致する例があって、それが、Ｈが「正規部分群」（別記）であるときである。

集合Ｇの傍系とは、Ｇの何らかの部分群Hによる、左あるいは右傍系の総称である。

ここでg(g⁻¹Hg)を考える。二項演算のルールとして、左から順に行う（でないと交換法則などを考える意味が無い）。カッコは先に行う。

しかし、群については、結合法則があらゆる元について成立しているので、

g(g⁻¹Hg)=(gg⁻¹)(Hg)=eHg=Hgである。だからどうしたとう話であるが、

すなわち、部分群Hを法とする右傍系Hgとは、

部分群Hと共役な部分群g⁻¹Hgを法とする左傍系g(g⁻¹Hg)と、

同じものを指しているのである。すなわち、傍系の左右と、「共役」という考え（別記）が密接に関連しているのである。