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代数的構造:体

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非零元全体が、乗法の下で可換群をなすような環のこと。

俗的に言えば、加減乗除が成立するような代数的構造であって、

実数、複素数、有理数はいずれも、体を成す。

体ではない環も、存在する。

例えば、整数集合Zと加法および乗法の二項演算μの組み合わせである「環」は、乗法において逆元をもたなくてもよいので、環ではあるが、乗法の下で、逆元をもたないため、群ではない(逆元が条件の一つ)し、もちろん可換群(群かつ二項演算が可換)でもない。従って、体ではない。

環、単位的環、群、体の復習

環とは、台集合(主基集合とも。いわゆる、ベースとなる単なる集合。ニュアンスとしては、代数的構造のことはとりあえず考えない、単なる元の集まり。)に加法と乗法の二項演算を備えた代数系である。公理として、加法が可換、加法と乗法は結合法則を満たす、乗法は加法の上に分配的、各元は加法の逆元をもち、加法単位元が存在すること、が要求される。
ちなみに、乗法について可換であれば、可換環という。
さて、単位的環とは、この公理に、乗法単位元が存在すること、をさらに要求するものである(だから、単位的非可換環や単位的可換環という分類もある)。
さらに、単位的環のうち、非零元の全体が乗法に関して群を成すものは、体とよぶことができる(だから、可換体、非可換体(斜体とよぶ)が存在する)。なお、乗法に関して群を成すというのは、
乗法に関して、群の定義である、結合法則、単位元の存在、逆元の存在を満たすということである。
環の条件で、乗法の結合法則、単位的環の条件で、乗法の単位元の存在はすでに確定しているので、実質的には、単位的環のうち、零元以外のすべての元について、乗法に関して、逆元が存在すれば、体とよぶことができる。
ということは、整数環は存在するが、乗法の逆元が分数になるので、整数体は存在しないことになる。
言い換えれば、体とは、0で割る以外の四則演算(加減乗除)が自由に行える代数系である。