代数的構造：可換群、群、単位的半群、半群

群という用語は、以下のように定義される。

集合Ｇと二項演算μの組（G,μ）について、（なお、μ：GXGとする（後述））

二項演算では、２つの元を用いた演算を行う。異なる集合Ｇ、Ｈからそれぞれ元を選んでもよいし、集合Ｇから2回選んできても良い。同じ元を２回選んでも良い。足し算、掛け算など様々な演算がある。

さて、この場合、集合Ｇと二項演算μのみを考えるので、μでは、集合Ｇから元を2個選ぶことになる。同じものを選んでも良い。これをわかりやすく表現するために、直積集合という考え方がある。直積集合GXGとは、Ｇの元すべてと、Gの元すべての、あらゆる組み合わせをいう。この順序には、意味がある。例えば、直積集合AXBと直積集合BXAは、偶然一致するケースもあるだろうが、基本的には、異なるものである。ゆえに、μ：GXGと書けば、二項演算μは、1個目は集合Ｇから選び、2個目も集合Ｇから選び、同じものを選んでも良いのだ、ということがわかる。

ここで、二項演算μの結果得られた「量」が、再び、何らかの集合Ｇの元になっているという保証は一切ない。もし、再び集合Ｇの元になっている場合、「集合Ｇは、二項演算μについて閉じている」あるいは「二項演算μは集合Ａにおいて閉じている」と、別記される。そして、この閉じている集合Ｇと二項演算μの組み合わせ（Ｇ，μ）こそが、「代数系」なのである。

ちなみに、代数系 ( Ｇ，μ）において，Ｇの部分集合Ｈが演算μに関して閉じているとき，代数系 ( H，μ）を( Ｇ，μ）の部分代数系と呼ぶ。

さらに、この代数系が「群」であった場合、群 ( H，μ）を群( Ｇ，μ）の部分群とよぶ。

条件１：結合法則

任意のＧの元a,b,cに対して、μ(a, μ(b,c)) = μ(μ(a,b),c)を満たす。

Ｇが整数集合、μが掛け算だとすれば、a,b,cをそれぞれ1,2,3として

μ(a, μ(b,c))=μ（1,2*3)=μ(1,6)=6

μ(μ(a,b),c)=μ（1*2,3)=μ(2,3)=6で成立する。

いかなるa,b,cの組み合わせでも成立する（abcになる）ので、整数集合Ｇにおける掛け算μについては結合法則が成り立つ。

２：単位元が存在する

μ(a,e)＝μ（e,a)=aを集合Ｇの任意の元aに対して満たす集合Ｇの元eが存在する。かつ、そのような元eはただ一つであり、集合Ｇの単位元とよぶ。

整数集合Ｇ、μが掛け算とすると、あらゆる元aについて成立しそうなeを1と予想してみると、

μ(a,1)=a*1=a

μ（1,a)=1*a=a

で確かに成立している。

もし、eの値が1.1だと、μ(a,e)＝μ（e,a)は成立するが、

その値は1.1aとなり、aと一致しない。

aが0のときは、もちろん1.1a=aとなるが、全ての元aについて成立していなければならないので、eはea=aとなる1でしかありえない（ただ一つに定まる）。

３：逆元が存在する

集合Ｇのどんな元aに対しても、μ(a, x) = μ(x, a) = e となるような G の元 x が存在する。そして、元xはただ一つに定まり、逆元とよばれる。

整数集合Ｇと掛け算μについて、

μ(a, x) = ax

μ(x, a) = xa

ax=xa=e=1（上記のようにe=1しかない）

x=1/aとただ一つに定まる気がする。

ところが、厳密にいえば、a≠0のときである。

a=0のときであっても、e=1はそのままであるが、xは0で割れないので、逆元は存在しないことになる。

ということは、

整数集合Ｇと掛け算μの組は群ではない（元0について、条件1の結合法則と,2の単位元の存在は成立するが、条件3における逆元が存在しない）が、整数集合（0以外）Gと掛け算μの組は群である。

ということができる。なお、

結合法則と単位元の存在を満たせば、それは単位的半群という。よって、整数集合Ｇと掛け算μは、群ではないが、単位的半群ではある。

結合法則のみ満たす場合は、「半群」とよばれる。

さて、群（G,μ）が

Additional １＜交換法則＞：任意の元a,bに対してμ（a,b)=μ(b,a)を満たす

とき、この群を可換群とよぶ。整数集合（0以外）Gと掛け算μの組は、交換法則が確かに成り立つので、可換群（アーベル群ともいう）である。

群の具体例

μが足し算の場合、整数集合Ｇは、条件１の結合法則、条件２の単位元の存在、条件３の逆元の存在をすべて満たすので（Ｇ、μ）は、群である。

かつ、交換法則が任意の集合Ｇの元について成立するので、可換群である。

足し算μに対しては、整数だけでなく、有理数、実数、複素数集合のいずれも、可換群となっている。