群という用語は、以下のように定義される。
集合Gと二項演算μの組(G,μ)について、(なお、μ:GXGとする(後述))
条件1:結合法則
任意のGの元a,b,cに対して、μ(a, μ(b,c)) = μ(μ(a,b),c)を満たす。
Gが整数集合、μが掛け算だとすれば、a,b,cをそれぞれ1,2,3として
μ(a, μ(b,c))=μ(1,2*3)=μ(1,6)=6
μ(μ(a,b),c)=μ(1*2,3)=μ(2,3)=6で成立する。
いかなるa,b,cの組み合わせでも成立する(abcになる)ので、整数集合Gにおける掛け算μについては結合法則が成り立つ。
2:単位元が存在する
μ(a,e)=μ(e,a)=aを集合Gの任意の元aに対して満たす集合Gの元eが存在する。かつ、そのような元eはただ一つであり、集合Gの単位元とよぶ。
整数集合G、μが掛け算とすると、あらゆる元aについて成立しそうなeを1と予想してみると、
μ(a,1)=a*1=a
μ(1,a)=1*a=a
で確かに成立している。
もし、eの値が1.1だと、μ(a,e)=μ(e,a)は成立するが、
その値は1.1aとなり、aと一致しない。
aが0のときは、もちろん1.1a=aとなるが、全ての元aについて成立していなければならないので、eはea=aとなる1でしかありえない(ただ一つに定まる)。
3:逆元が存在する
集合Gのどんな元aに対しても、μ(a, x) = μ(x, a) = e となるような G の元 x が存在する。そして、元xはただ一つに定まり、逆元とよばれる。
整数集合Gと掛け算μについて、
μ(a, x) = ax
μ(x, a) = xa
ax=xa=e=1(上記のようにe=1しかない)
x=1/aとただ一つに定まる気がする。
ところが、厳密にいえば、a≠0のときである。
a=0のときであっても、e=1はそのままであるが、xは0で割れないので、逆元は存在しないことになる。
ということは、
ということができる。なお、
結合法則のみ満たす場合は、「半群」とよばれる。
さて、群(G,μ)が
Additional 1<交換法則>:任意の元a,bに対してμ(a,b)=μ(b,a)を満たす
とき、この群を可換群とよぶ。整数集合(0以外)Gと掛け算μの組は、交換法則が確かに成り立つので、可換群(アーベル群ともいう)である。
群の具体例
μが足し算の場合、整数集合Gは、条件1の結合法則、条件2の単位元の存在、条件3の逆元の存在をすべて満たすので(G、μ)は、群である。
かつ、交換法則が任意の集合Gの元について成立するので、可換群である。
足し算μに対しては、整数だけでなく、有理数、実数、複素数集合のいずれも、可換群となっている。