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代数的構造:可換群、群、単位的半群、半群

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群という用語は、以下のように定義される。

集合Gと二項演算μの組(G,μ)について、(なお、μ:GXGとする(後述))

二項演算では、2つの元を用いた演算を行う。異なる集合G、Hからそれぞれ元を選んでもよいし、集合Gから2回選んできても良い。同じ元を2回選んでも良い。足し算、掛け算など様々な演算がある。
さて、この場合、集合Gと二項演算μのみを考えるので、μでは、集合Gから元を2個選ぶことになる。同じものを選んでも良い。これをわかりやすく表現するために、直積集合という考え方がある。直積集合GXGとは、Gの元すべてと、Gの元すべての、あらゆる組み合わせをいう。この順序には、意味がある。例えば、直積集合AXBと直積集合BXAは、偶然一致するケースもあるだろうが、基本的には、異なるものである。ゆえに、μ:GXGと書けば、二項演算μは、1個目は集合Gから選び、2個目も集合Gから選び、同じものを選んでも良いのだ、ということがわかる。
ここで、二項演算μの結果得られた「量」が、再び、何らかの集合Gの元になっているという保証は一切ない。もし、再び集合Gの元になっている場合、「集合Gは、二項演算μについて閉じている」あるいは「二項演算μは集合Aにおいて閉じている」と、別記される。そして、この閉じている集合Gと二項演算μの組み合わせ(G,μ)こそが、「代数系」なのである。
ちなみに、代数系 ( G,μ)において,G の部分集合 H が 演算μに関して閉じているとき,代数系 ( H,μ)を( G,μ)の部分代数系と呼ぶ。
さらに、この代数系が「群」であった場合、群 ( H,μ)を群( G,μ)の部分群とよぶ。
条件1:結合法則

任意のGの元a,b,cに対して、μ(a, μ(b,c)) = μ(μ(a,b),c)を満たす。

Gが整数集合、μが掛け算だとすれば、a,b,cをそれぞれ1,2,3として

μ(a, μ(b,c))=μ(1,2*3)=μ(1,6)=6

μ(μ(a,b),c)=μ(1*2,3)=μ(2,3)=6で成立する。

いかなるa,b,cの組み合わせでも成立する(abcになる)ので、整数集合Gにおける掛け算μについては結合法則が成り立つ。

2:単位元が存在する

μ(a,e)=μ(e,a)=aを集合Gの任意の元aに対して満たす集合Gの元eが存在する。かつ、そのような元eはただ一つであり、集合Gの単位元とよぶ。

整数集合G、μが掛け算とすると、あらゆる元aについて成立しそうなeを1と予想してみると、

μ(a,1)=a*1=a

μ(1,a)=1*a=a

で確かに成立している。

もし、eの値が1.1だと、μ(a,e)=μ(e,a)は成立するが、

その値は1.1aとなり、aと一致しない。

aが0のときは、もちろん1.1a=aとなるが、全ての元aについて成立していなければならないので、eはea=aとなる1でしかありえない(ただ一つに定まる)。

3:逆元が存在する

集合Gのどんな元aに対しても、μ(a, x) = μ(x, a) = e となるような G の元 x が存在する。そして、元xはただ一つに定まり、逆元とよばれる。

整数集合Gと掛け算μについて、

μ(a, x) = ax

μ(x, a) = xa

ax=xa=e=1(上記のようにe=1しかない)

x=1/aとただ一つに定まる気がする。

ところが、厳密にいえば、a≠0のときである。

a=0のときであっても、e=1はそのままであるが、xは0で割れないので、逆元は存在しないことになる。

ということは、

整数集合Gと掛け算μの組は群ではない(元0について、条件1の結合法則と,2の単位元の存在は成立するが、条件3における逆元が存在しない)が、整数集合(0以外)Gと掛け算μの組は群である。

ということができる。なお、

結合法則と単位元の存在を満たせば、それは単位的半群という。よって、整数集合Gと掛け算μは、群ではないが、単位的半群ではある。

結合法則のみ満たす場合は、「半群」とよばれる。

さて、群(G,μ)が

Additional 1<交換法則>:任意の元a,bに対してμ(a,b)=μ(b,a)を満たす

とき、この群を可換群とよぶ。整数集合(0以外)Gと掛け算μの組は、交換法則が確かに成り立つので、可換群(アーベル群ともいう)である。

群の具体例

μが足し算の場合、整数集合Gは、条件1の結合法則、条件2の単位元の存在、条件3の逆元の存在をすべて満たすので(G、μ)は、群である。

かつ、交換法則が任意の集合Gの元について成立するので、可換群である。

足し算μに対しては、整数だけでなく、有理数、実数、複素数集合のいずれも、可換群となっている。