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数学史

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あなたは、数学を学ぶときに、必要に迫られているだろうか。

数学は、必要に迫られて誕生した。

これから、数学の誕生の歴史を辿っていこう。

数学史の面白さが伝わりやすいよう、多少表現を修正、追加している箇所があり、著作権の観点から、引用箇所には十分配慮しております。また、歴史考察には避けられない「推測」が生じますので、事実と異なる可能性がありますが、表現の関係上、断定的な記載となっている箇所もございます。予めご了承下さい。

 

古代~中世

古代から、数学は必要であった。

長さの測定、天体観測による時間の計測、獣の数など。

我々にとっては意外かもしれないが、古代の人にとって、「無い」ことを、数字的に「ゼロ」と表現することは、おそらく画期的な考え方であった。

文明の進んだ古代エジプトでは、すでに素数や、かけ算の概念が登場していた。円や楕円などの数学的な概念も、紀元前に登場している。

古代インドでは、十進法がすでに登場しており、直角を作る方法も登場していた。天体観測のため、角度を正確に測定する術も持ち合わせていた。さらに、円周率πの値を知っていたという説すらある。

さて、有名なギリシア数学は紀元前500-600年頃に、タレスとピタゴラスが始めたとされるが、最古の数学というわけではない。おそらく、エジプト、メソポタミア、インドに影響を受けている。ギリシア数学以前の数学の特徴は、帰納的推論であるといわれる。繰り返した観測、すなわち経験則によって証明を行っていた。対照的に、ギリシア数学は、演繹法である(定義や原理から結論を得る)。この頃から、無理数の発見、取り尽くし法(積分法のさきがけ)、「定義・原理・定理・証明」の流れ、円錐曲線など続々と研究が進んだ。特に、エウクレイデスの本とされる、ユークリッド原論は非常に影響力が大きい。また、偉大な数学者アルキメデスもこの頃登場した。

ユークリッド原論は13章から成り、以前の数学的知識をまとめたものとされる(「原論」という名前は適切ではないかもしれない)。その中でも特に有名なものが、5つの公準と5つの公理である。

1:任意の一点から他の一点に対して直線を引くこと
2:有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること
3:任意の中心と半径で円を描くこと
4:すべての直角は互いに等しいこと
5:直線が2直線と交わるとき、同じ側の内角の和が2直角より小さい場合、その2直線が限りなく延長されたとき、内角の和が2直角より小さい側で交わる。

この5つの公準は、我々には当たり前にも思えるが(驚くべきことに、5つめの公準が成り立たない幾何学として、非ユークリッド幾何学が後に登場した)、とりあえず、これを真であるとして受け入れることが必要だと提示されている。

5つの公理(9つとする説もある)は、以下の通り。

1:同じものに等しいものは、互いに等しい
2:同じものに同じものを加えた場合、その合計は等しい
3:同じものから同じものを引いた場合、残りは等しい
4:互いに重なり合うものは、互いに等しい
5:全体は、部分より大きい

これらも自明に思えるが、とりあえず、あらゆる学問に共通の真理であると明確に提示されている。

バビロニア数学とは、ギリシア数学とエジプト数学が融合したものであり、後にヘレニズム数学、そしてイスラム数学として引き継がれていった。有名な六十進法はバビロニア数学を起源としている。

エジプト数学には有名なテキストがあり、幾何学、乗算、除算、分数、素数などについても記載されている。一次方程式の解法、円周率の近似値を得る方法なども記載されている。

さて、紀元前後頃、インド数学において、二進法のような仕組みが使用され、フィボナッチ数のような概念が誕生した。さらに、この時点で、超越数、集合論、対数、添え字、三次方程式、数列、組み合わせ、二乗、平方根などについての法則を発展させた。

西暦400~500年頃のインド数学において、三角関数を用いた天体観測や、無限小、微分方程式すらも登場した。7世紀には、明確に「ゼロ」を数字として用いられた。

(ちなみに、記録こそ明確に残っていないが、実はインド数学の一部は、古代中国における方法であるという説もあり、中国における数学的発展も重要な要素である。)

時代は9世紀、イスラム数学において、かの有名な天文学者フワーリズミーは「代数の父」と呼ばれており、インド数学を西洋に広める本を執筆した。共に本を執筆したアル=キンディーは、アルゴリズムの語源であり、彼の著書は代数学(algebra)の語源でもある。この頃から、アラビア数字(今の数字)が採用されている。

10世紀頃になると、行列の計算や、数学的帰納法の考え方が登場した。この考え方によって、二項定理や微分積分の証明が発展した。

12世紀になると、ユークリッド原論の平行線公理に不備があることが言及され、解析幾何学と非ユークリッド幾何学が生じるきっかけとなった。さらに、微分係数、ロルの定理もこの頃提示された。

14世紀になってくると、積分や不定積分、無限級数、テイラー級数、三角級数、非線型方程式の概念が発展する。

中世に入ると、ギリシア語とアラビア語の数学的文献がラテン語に翻訳され、ヨーロッパにおいても数学が発展した。

近代ヨーロッパ(1400~1900年頃)

14世紀ごろの大航海時代などでは、数学的な知識が、航海に実務的に必要となり、必要に迫られた数学的進歩が起こるようになってきた。

現在よく用いられる未知数xの記号は、16世紀末頃にようやく使われるようになり、便利になった。さらに、大きな進歩として、三次関数の解法、四次方程式の解法が挙げられる。

ガリレオは17世紀に登場した。有名人がこの頃続々登場する。天体観測のティコ・ブラーエ、惑星運動研究のケプラー、自然対数研究のネイピア、幾何学のフェルマー、座標研究のデカルト(哲学者でもある)、万有引力のニュートン、微分積分のライプニッツ、確率論のパスカル(宗教論者でもある)など、そうそうたるメンバーが揃っている。

18世紀にも有名人が多く、天才オイラー、波動方程式のダランベール、確率論のベルヌーイ、ド・モアブル、ベイズ推定で有名なのベイズ、ラプラス変換で有名なラプラスなどが揃っている。

さらに19世紀、ここにきて、数学はどんどんと抽象的になる。天才ガウスによる複素解析の発展、非ユークリッド幾何学(三角形の内角の和が180度未満)、リーマンによる楕円幾何学および多様体(曲線と表面の概念をより普遍化したもの)の概念の誕生、ハミルトンによる非可換代数の概念、0と1のブール論理、カントールによる集合論の確立が挙げられる。

20-21世紀

数学は、必要に迫られてというよりは、アートの領域に達してきたともいえる。もちろん結果的に、その「アート」が実用的に役に立つこともあっただろう。

数理論理学、位相幾何学、カオス理論など、新しいジャンルが誕生した。

しかし、やはり近年では計算機科学の発展が重要であるだろう。

 

以上の数学史から、数学の面白さの一部をご理解頂ければ幸いである。