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代数的構造:イデアル(環論)

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イデアル

環Rの特別な部分集合Iをイデアルとよぶ。

条件は、部分集合Iの任意の元の和と差について閉じていて、掛け算についても閉じていることである。

整数環Zについて、環Zの部分集合である、「偶数集合I」がイデアルであることを確認する。

Iの任意の元、すなわち偶数は、足しても引いても偶数であって、閉じている。しかも偶数同士を掛け算すると4の倍数になるから、閉じている。

また、イデアルIの元について、環Rのどの元をとってきても、積をとってしまえば、偶数になるので、イデアルの元になってしまう。

このように、積をとれば全てが自分(イデアルI)の元になるような性質を、吸収律とよんでいる。

主イデアル(単項イデアル)

単項イデアルともいう。環Rの単一の元aにより「生成」されたRのイデアルIのことである。

Rの左主イデアルILとは、IL=Ra = {ra : r ∈ R} の形の部分集合である。

左主イデアルはイデアルの一種である。

したがって、代数系Raは環Rのイデアル(元の和、差、掛け算全てが閉じている、部分集合)である。(代数系とは、集合と二項演算の組み合わせのこと。復習。)

ゆえに、Raの元は全て、Rの元である。

すなわち、r ∈ R、a ∈ Rであるだけでなく、ra∈ Rともなっている。なお、このように、Rの部分集合であるILの元がRに含まれるのは、当たり前のことである。

なお、右主イデアルとは、

aR = {ar : r ∈ R}である。

 

集合から生成されたイデアル

単項イデアルと異なり、1つの元ではなく、多くの元(というより、集合)からイデアルを生成することに、考え方を拡張することができる。

環Rの部分集合a1,a2,a3,a4,…anを考えて、

a1R+a2R+a3R+a4R+…anRは環Rのイデアルである。

なぜなら、a1Rもa2Rも、それぞれが環Rの単項イデアルであって、それらの総和もまた、環Rのイデアルになることは明らかである。