イデアル
環Rの特別な部分集合Iをイデアルとよぶ。
条件は、部分集合Iの任意の元の和と差について閉じていて、掛け算についても閉じていることである。
整数環Zについて、環Ｚの部分集合である、「偶数集合I」がイデアルであることを確認する。
Iの任意の元、すなわち偶数は、足しても引いても偶数であって、閉じている。しかも偶数同士を掛け算すると４の倍数になるから、閉じている。
また、イデアルIの元について、環Rのどの元をとってきても、積をとってしまえば、偶数になるので、イデアルの元になってしまう。
このように、積をとれば全てが自分（イデアルＩ）の元になるような性質を、吸収律とよんでいる。
主イデアル（単項イデアル）
単項イデアルともいう。環Ｒの単一の元aにより「生成」されたＲのイデアルＩのことである。
Ｒの左主イデアルILとは、IL=Ra = {ra : r ∈ R} の形の部分集合である。
左主イデアルはイデアルの一種である。
したがって、代数系Raは環Rのイデアル（元の和、差、掛け算全てが閉じている、部分集合）である。（代数系とは、集合と二項演算の組み合わせのこと。復習。）
ゆえに、Raの元は全て、Rの元である。
すなわち、r ∈ R、a ∈ Rであるだけでなく、ra∈ Rともなっている。なお、このように、Rの部分集合であるILの元がRに含まれるのは、当たり前のことである。
なお、右主イデアルとは、
aR = {ar : r ∈ R}である。
集合から生成されたイデアル
単項イデアルと異なり、1つの元ではなく、多くの元（というより、集合）からイデアルを生成することに、考え方を拡張することができる。
環Ｒの部分集合a1,a2,a3,a4,…anを考えて、
a1R+a2R+a3R+a4R+…anRは環Ｒのイデアルである。
なぜなら、a1Rもa2Rも、それぞれが環Ｒの単項イデアルであって、それらの総和もまた、環Ｒのイデアルになることは明らかである。
