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線型空間(ベクトル空間)

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線型代数学とは、線型空間と線型変換を中心とした代数学の一種である。

さて、まず、線型空間とは何か?を考えなければならない。

線型空間とは、ベクトル空間の別名である。

ベクトル空間とは、ベクトルと呼ばれる元がたくさん集まった空間である。言い換えれば、ベクトルで説明できる空間である。

ベクトルの理解でつまずく方も多くおられることと思う。いわゆる、直感的に理解しやすいベクトルというのは、正しくは「空間ベクトル」であって、空間における、大きさと向きをもった量のことである。なお、「量」というのも、我々がもつイメージとは少し異なって、数学的な単語である。

いずれにせよ、空間ベクトルは3次元を思い浮かべてもよいし、二次元を思い浮かべてもよく、直感的に理解できる。

ところが、数学というのは、我々がイメージできるかどうか、をさほど気にしない。

空間ベクトルは、実は、4次元、5次元、100次元と、どのような空間(空間と呼べるのか?という疑問に対しては、空間と呼べるものと定義する、と言えば解決してしまうのが数学の怖いところである)でも成立する。

たとえば、4次元空間において、空間ベクトルは、直交するものが4つできる。我々の感覚では、縦・横・高さで直交するのだから、4番目は、もう直交できない(というより、4番目とは何か?ナナメ?黄泉の方向?時間?)と考えるだろうが、数学は、そのように定義するだけである。

ということで、空間ベクトルは、ある意味、わかりやすいようで、全くもって、直感的ではない。

さて、空間ベクトルを、数の組み合わせで表現したものが「数ベクトル」である。従って、本質的には、空間ベクトルと、数ベクトルは、量としては同じである。表現方法が異なるだけである。

さて、本題の、ベクトル空間の元としての「ベクトル」であるが、これは、大きさとか向きとかではなく、「和とスカラー倍をとることができる量」として広い意味で定義されている。なお、スカラー倍というのは、たんに何倍にも伸ばすことができるかどうか、という意味である。

実態としては、和とスカラー倍をとることができる量としてどのようなものが挙げられるかといえば、結局は空間ベクトルとほとんど同一になる。空間ベクトル以外の、この「ベクトル空間の元としてのベクトル」が何かという話題は、かなり込み入っているので、割愛する。

さて、「元」とは何かという話であるが、集合を構成する「要素」を指す。この集合という考え方でつまずいた方も大勢おられることと思われるが、基本的には、元があつまって集合を構成しているにすぎない。