ユークリッド整域について考える 整域とは、零元の無い可換環でした。 体とは、単位的環（文献にもよるが、いわゆる通常の、乗法の単位元をもつ環のこと）のうち、非零元の全体が乗法の逆元をもつものでした。 さて、整域Ｒ（くりかえします

多項式 多項式というのは、項が2つ以上あるものです。単項式とは、項が1つのものです。 例えば、x+3xは、もちろん=4xとしたくなりますが、このままでは、多項式です。正確には、1変数多項式です。 x+yは、2変数多項式です。

不定方程式 整数解を求める方程式を不定方程式とよびましょう。 xについて、xの1乗しか無い場合、それを一次式をよびましょう。 一次不定方程式などとよぶことにしましょう。 一次不定方程式の特殊解と解き方 整数a,bお

有理整数と代数的整数 我々のよく知る整数は、厳密には有理整数といいます。本ＨＰでは、単に整数と略してよいこととします。 代数的整数というのは、「整った数ではあるが有理整数ではない」と解釈して頂ければと思います。 素数 2以上の有

(ℕ,|)と(イ全(ℤ),⊆)の関係 （ℕ, |）における元aについて、可換環ℤにおいて元aを含む最小のイデアルを（a）としたとき（可換環ℤは単項イデアル整域ですので、結局、（a）は単項イデアルとなります。単項イデアルとは、単一の元により

順序集合（ℕ, 定義）という表記方法 順序集合は、もちろん順序が定義できる集合です。 たとえば、自然数集合が小さいものから順に｛0,1,2,3,4,...｝と並んでいるものは、順序集合として自然に理解できますが、しっかりと定義すれば

上界、最小上界（上限）、下界、最大下界（下限） 集合Aの２つの元a,b,cが、c≧a, c≧bを満たしているとき、cをa,bの上界とよびましょう。上界の中でも最小のものを最小上界とよびましょう。 最小上界は、上界の限度いっぱいですか

特定の元から生成されるイデアルの性質 最小のイデアルどうしの和 元aを含む最小のイデアルを（a）と示し、 元a,bを含む最小のイデアルを（a,b）と示すことにしましょう。 イデアルＩ、Ｊどうしの和と積が定義できることは先述の

可換体 ある可換環Rについて、零元以外のすべての元について、乗法についての逆元をもつとしましょう。例えば、整数集合は環ですが、元３について、逆元1/3は整数ではないので、この条件を満たしません。 比較的、この条件は厳しいもの

イデアルどうしの和と差と積を定義する 可換環RのイデアルI,Jについて考えます。 I+Jと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの和の集合ということにしましょう。 IJと書けば、Iの任意の元aとJの任意の元bの積の「有