最小のイデアル 可換環Rの有限個の元a1,a2,...an（もちろん、全て異なる元です。また、これらはRの元を網羅しているとは限りません。） に対して、a1,a2,...anを含むイデアルを考えましょう。 「含む」わけですから

可換環の復習 可換環は、可換加法群かつ可換乗法群（すなわち、可換群）の条件から、乗法についての逆元存在が不要で、分配律は必要、という条件であった。 イデアル ここで、可換環Rの空でない部分集合Iを考える。 もし、任意の元a,bに

公倍数 整数mが整数a,bについてa|mかつb|mであれば、 mをa,bの公倍数とよびましょう。 整数aの倍数の集合を（a）と書けば（カッコはややこしくなりますが、ここではカッコで閉じることにします。） a,bの公倍数の

倍数と約数 任意の整数a,b(b≠0)が整数qによってa=bqとなるとき aはbの倍数、bはaの約数とよび、b|aと書くことにしましょう。 整除関係 倍数であるかどうかという関係を整除関係とよぶことにしましょう。 同伴 整数

数学的帰納法 P(n)を自然数nの命題（お題）としましょう。 P(0)が定義されており、 「P(n)が成立するならば、P(n+1)も成立する」ことが約束されているならば、すべての自然数nについてP(n)は成り立つことを

四面体数 三角数を球で作って積み上げていくと四面体ができるのが想像できると思います。 当然、四面体の球の個数≔Tetnは、Δ1+Δ2+...+Δnとなります。これを四面体数とよびましょう。 三角数の公式から計算すると、

多角数 「多角数」 初項1、公差k-2のn項の等差数列の和≔Pk(n)はどうなるかを考えてみます。 等差数列の和は、n{2a+(n-1)d}/2でしたから、 Pk(n)=n{2+(n-1)(k-2)}/2となりま

三角数 三角数を次のように定義しましょう。 Δn≔1+2+...n={n(n+1)}/2 この式が成り立つことは、n=5などで実験すれば直感的にわかります。 平方数 A≔1+3+5+...+(2n-1)を三角数を用いて計算

べき乗 同じ数を何度も乗算することがあるでしょう。 「べき乗と指数」 aを任意の有理数、nを任意の自然数として、 an≔a*...*a（aをn回かけた積）で、 nがどのような自然数であっても、aのべき乗とよびま

集合Ａ上に同値関係が定義されている 唐突ですが、同値関係という考え方を作ってみます。 「同値関係」 まず、集合の任意の2元の関係∽を考えます。任意の3元a,b,cについて a∽aが成り立つことを、反射律とよびましょう