素イデアルと極大イデアルの関係

さて、素イデアルIとは、可換環Ｒにおいて、

「RではないイデアルIが、任意のイデアルJ,Kについて

JK⊂Iならば必ずJ⊂IまたはK⊂Iである」ことでした。

極大イデアル（m）とは、(m)を含むイデアルが、自分自身かRしかないようなイデアルです。

極大イデアル（ｍ）について、任意のイデアルJ,Kについて

JK⊂(m)であるとき、

イデアルの積とは、イデアルのそれぞれの元のあらゆる組み合わせの積の有限和の集合ですから、

Rの任意の元r1とr2および、Jの任意の元jとKの任意の元kについて、

元jr1*kr2を（m）が必ず含んでいなければなりません。

ゆえに、mはjr1の約元であり、kr2の約元でなければなりません。

（これは、可換環の条件だけでいえることです。）

mが「Jの任意の元jとRの任意の元r1との積の約元」であるということは、

結局、mがイデアルJに含まれることと同義です。

その場合、イデアルの性質から自明に、(m)もイデアルJに含まれます。

同様に、(m)はイデアルKに含まれますから、

素イデアルの定義から、

「可換環において、極大イデアルは素イデアルである」

ことがいえます。

単項イデアル整域において、素イデアルIについて、

「RではないイデアルIが、任意のイデアルJ,Kについて

JK⊂Iならば必ずJ⊂IまたはK⊂Iである」を考えます。

素元pが生成するイデアル(p)は、0でない素イデアルになります。

上記の定義と、素元の定義をリンクさせればわかります。

すなわち、JK⊂(p)であれば、J,Kの任意の元j,kの積jkについて、p|jkです。

しかしpは素元ですので、定義から、p|jkであれば必ず、p|jまたはp|kとなります。これはすなわち、

J⊂(p)またはK⊂(p)である、ということになります。

可換環においては、既約元ならば必ず素元でした。

単項イデアル整域においては、さらに、素元なら必ず既約元でした。

したがって、単項イデアル整域においては、素元pが生成するイデアル（p）

は、必ず素イデアルであって、かつ、素元pは既約元pでもあります。

ここで、単項イデアル整域においては、pが既約元であることと、(p)が極大イデアルであることは同等であることは別記事で証明ずみです。

ということで、結局、単項イデアル整域においては、(p)が素イデアルであれば、(p)は極大イデアルでもあります。